横が縦より5cm長い長方形の厚紙がある。この4すみから1辺が4cmの正方形を切り取り、ふたのない直方体の容器を作ると、その容積は600 $cm^3$ になった。はじめの厚紙の縦と横の長さを求めよ。

1. 問題の内容

横が縦より5cm長い長方形の厚紙がある。この4すみから1辺が4cmの正方形を切り取り、ふたのない直方体の容器を作ると、その容積は600 $cm^3$ になった。はじめの厚紙の縦と横の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

はじめの厚紙の縦の長さを$x$ cmとすると、横の長さは$(x+5)$ cmとなる。

4隅から1辺が4cmの正方形を切り取るので、容器の縦の長さは$x-4 \times 2 = x-8$ (cm)、横の長さは$(x+5) - 4 \times 2 = x-3$ (cm)、高さは4 cmとなる。

したがって、容器の容積は$4(x-8)(x-3)$ $cm^3$となる。

容積が600 $cm^3$なので、以下の式が成り立つ。

$$4(x-8)(x-3) = 600$$

$$(x-8)(x-3) = 150$$

$$x^2 - 11x + 24 = 150$$

$$x^2 - 11x - 126 = 0$$

$$(x-18)(x+7) = 0$$

$$x = 18, -7$$

$x$ は長さを表すので、$x > 8$でなければならない。したがって、$x = 18$である。

よって、縦の長さは18 cm、横の長さは$18 + 5 = 23$ cmとなる。

3. 最終的な答え

縦：18 cm

横：23 cm