$x = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$、 $y = \frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$ のとき、$x^2 - 3xy + y^2$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$、 $y = \frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$ のとき、$x^2 - 3xy + y^2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x+y$ と $xy$ を計算します。

$x+y = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}$

$xy = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2} = \frac{(\sqrt{10}+\sqrt{2})(\sqrt{10}-\sqrt{2})}{4} = \frac{10-2}{4} = \frac{8}{4} = 2$

次に、$x^2 - 3xy + y^2$ を変形します。

$x^2 - 3xy + y^2 = x^2 + 2xy + y^2 - 5xy = (x+y)^2 - 5xy$

得られた $x+y$ と $xy$ の値を代入します。

$(x+y)^2 - 5xy = (\sqrt{10})^2 - 5(2) = 10 - 10 = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 - 3xy + y^2 = 0$