与えられた4つの行列の行列式を計算する問題です。 (1) $ \begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} $ (2) $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 3 & 6 \\ 2 & 4 & 2 & 8 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{vmatrix} $ (3) $ \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} $ (4) $ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4つの行列の行列式を計算する問題です。

(1) $\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{vmatrix}$

(2) $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 3 & 6 \\ 2 & 4 & 2 & 8 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{vmatrix}$

(3) $\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

(4) $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた行列は上三角行列なので、行列式は対角成分の積となります。

$det = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$

(2)

2行目から2倍の1行目を引くと、2行目は $\begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ となります。

3行目から2倍の1行目を引くと、3行目は $\begin{pmatrix} 0 & 2 & -2 & 2 \end{pmatrix}$ となります。

4行目から1行目を引くと、4行目は $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$ となります。

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$

次に、3行目から2行目を引くと、3行目は $\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ となります。

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$

4行目と2行目を入れ替えると符号が変わります。

$-\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \end{vmatrix}$

4行目から2倍の2行目を引くと、4行目は $\begin{pmatrix} 0 & 0 & -5 & 0 \end{pmatrix}$ となります。

$-\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & -5 & 0 \end{vmatrix}$

4行目から5倍の3行目を引くと、4行目は $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -10 \end{pmatrix}$ となります。

$-\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -10 \end{vmatrix}$

したがって、$det = -(1 \times 1 \times (-1) \times (-10)) = -10$

別解

第1列に注目すると、2列目と3列目の線形結合で4列目が作れることから、この行列の行列式は0です。

具体的には、第4列は第2列と第3列の和で表現できます。

(3)

1行目から2行目、3行目、4行目を引く。

$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

1列目に2列目、3列目、4列目を足す。

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

1行目で展開すると、$-1 \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

$= -(\begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix}) = 4$

別解

余因子展開を使う

$det = 0 \cdot C_{11} + 1 \cdot C_{12} + 1 \cdot C_{13} + 1 \cdot C_{14}$

$C_{12} = (-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = -2$

$C_{13} = (-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1$

$C_{14} = (-1)^{1+4}\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1$

$det = 0 \cdot C_{11} + 1 \cdot (-2) + 1 \cdot (1) + 1 \cdot (1) = -2 + 1 + 1 = 0$

計算違いがあったので、別の解法を探します。

各行から最後の行を引くと

$\begin{vmatrix} -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

1列目に2, 3, 4列目を足すと

$\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

1行で展開すると

$(-1)^{1+4} det = \begin{vmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

$= -3 \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -3$

別の計算方法を確認してみます.

与えられた行列から2,3,4行目を1行目に加えると

$\begin{vmatrix} 3 & 3 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

第1行から3をくくり出すと

$3 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

第1行で各列を引くと

$3 \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{vmatrix}$

$det = 3 \cdot 1 \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -3$

(4)

2行目から1行目を引くと $\begin{pmatrix} 4 & 4 & 4 & 4 \end{pmatrix}$

3行目から2行目を引くと $\begin{pmatrix} 4 & 4 & 4 & 4 \end{pmatrix}$

4行目から3行目を引くと $\begin{pmatrix} 4 & 4 & 4 & 4 \end{pmatrix}$

行列に同じ行が2つ以上ある場合、行列式は0です。したがって、行列式は0です。

3. 最終的な答え

(1) 24

(2) 0

(3) -3

(4) 0