$a$ は実数である。3次方程式 $x^3 + 5x^2 + 3x - a = 0$ が正の解を1つと負の異なる解を2つ持つような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$a$ は実数である。3次方程式 $x^3 + 5x^2 + 3x - a = 0$ が正の解を1つと負の異なる解を2つ持つような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = x^3 + 5x^2 + 3x$ を定義する。すると、与えられた方程式は $f(x) = a$ と書き換えられる。

$f(x)$ のグラフを描き、$y = a$ との交点を考える。正の解が1つ、負の解が2つとなるためには、$y = a$ の直線が、$x > 0$ の範囲で1回、$x < 0$ の範囲で2回、$f(x)$ のグラフと交わる必要がある。

$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求め、増減を調べる。

$f'(x) = 3x^2 + 10x + 3$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$3x^2 + 10x + 3 = 0$

$(3x + 1)(x + 3) = 0$

$x = -3, -\frac{1}{3}$

$f(x)$ の増減表は次のようになる。

$x$ | $-\infty$ | $-3$ | $-\frac{1}{3}$ | $\infty$

---|---|---|---|---

$f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$

$f(x)$ | $\nearrow$ | 極大 | $\searrow$ | 極小 | $\nearrow$

極大値 $f(-3) = (-3)^3 + 5(-3)^2 + 3(-3) = -27 + 45 - 9 = 9$

極小値 $f(-\frac{1}{3}) = (-\frac{1}{3})^3 + 5(-\frac{1}{3})^2 + 3(-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{27} + \frac{5}{9} - 1 = \frac{-1 + 15 - 27}{27} = -\frac{13}{27}$

$f(0) = 0$

正の解1つと負の解2つを持つためには、$a$ は極小値と $f(0)$ の間になければならない。

つまり、$-\frac{13}{27} < a < 0$

3. 最終的な答え

$-\frac{13}{27} < a < 0$