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与えられた行列の行列式を求める問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{pmatrix} \alpha & \beta & \gamma & \delta \\ \beta & \alpha & \delta & \gamma \\ \gamma & \delta & \alpha & \beta \\ \delta & \gamma & \beta & \alpha \end{pmatrix}$

代数学行列式行列線形代数
2025/7/18

1. 問題の内容

与えられた行列の行列式を求める問題です。行列は以下の通りです。
$\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma & \delta \\
\beta & \alpha & \delta & \gamma \\
\gamma & \delta & \alpha & \beta \\
\delta & \gamma & \beta & \alpha
\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算します。
まず、行列式を Δ\Delta と置きます。
$\Delta = \begin{vmatrix}
\alpha & \beta & \gamma & \delta \\
\beta & \alpha & \delta & \gamma \\
\gamma & \delta & \alpha & \beta \\
\delta & \gamma & \beta & \alpha
\end{vmatrix}$
1列目に2列目、3列目、4列目を加えます。
$\Delta = \begin{vmatrix}
\alpha+\beta+\gamma+\delta & \beta & \gamma & \delta \\
\beta+\alpha+\delta+\gamma & \alpha & \delta & \gamma \\
\gamma+\delta+\alpha+\beta & \delta & \alpha & \beta \\
\delta+\gamma+\beta+\alpha & \gamma & \beta & \alpha
\end{vmatrix}$
1列目の各要素は α+β+γ+δ\alpha+\beta+\gamma+\delta となるので、これを括りだします。
$\Delta = (\alpha+\beta+\gamma+\delta) \begin{vmatrix}
1 & \beta & \gamma & \delta \\
1 & \alpha & \delta & \gamma \\
1 & \delta & \alpha & \beta \\
1 & \gamma & \beta & \alpha
\end{vmatrix}$
次に、2行目から1行目を、3行目から1行目を、4行目から1行目を引きます。
$\Delta = (\alpha+\beta+\gamma+\delta) \begin{vmatrix}
1 & \beta & \gamma & \delta \\
0 & \alpha-\beta & \delta-\gamma & \gamma-\delta \\
0 & \delta-\beta & \alpha-\gamma & \beta-\delta \\
0 & \gamma-\beta & \beta-\gamma & \alpha-\delta
\end{vmatrix}$
$\Delta = (\alpha+\beta+\gamma+\delta) \begin{vmatrix}
\alpha-\beta & \delta-\gamma & \gamma-\delta \\
\delta-\beta & \alpha-\gamma & \beta-\delta \\
\gamma-\beta & \beta-\gamma & \alpha-\delta
\end{vmatrix}$
さらに、計算を簡単にするために、2列目に1列目を加えます。
$\Delta = (\alpha+\beta+\gamma+\delta) \begin{vmatrix}
\alpha-\beta & \alpha+\delta-\beta-\gamma & \gamma-\delta \\
\delta-\beta & \alpha+\delta-\beta-\gamma & \beta-\delta \\
\gamma-\beta & \beta+\gamma-\alpha-\beta & \alpha-\delta
\end{vmatrix}$
$\Delta = (\alpha+\beta+\gamma+\delta) \begin{vmatrix}
\alpha-\beta & \alpha+\delta-\beta-\gamma & \gamma-\delta \\
\delta-\beta & \alpha+\delta-\beta-\gamma & \beta-\delta \\
\gamma-\beta & \beta+\gamma-\alpha-\delta & \alpha-\delta
\end{vmatrix}$
行列式を計算すると、次のようになります。
Δ=(α+β+γ+δ)((α−β)[(α−γ)(α−δ)−(β−δ)(β−γ)]−(δ−γ)[(δ−β)(α−δ)−(β−δ)(γ−β)]+(γ−δ)[(δ−β)(β−γ)−(α−γ)(γ−β)])\Delta = (\alpha+\beta+\gamma+\delta) ((\alpha-\beta)[(\alpha-\gamma)(\alpha-\delta) - (\beta-\delta)(\beta-\gamma)] - (\delta-\gamma)[(\delta-\beta)(\alpha-\delta) - (\beta-\delta)(\gamma-\beta)] + (\gamma-\delta)[(\delta-\beta)(\beta-\gamma) - (\alpha-\gamma)(\gamma-\beta)])
Δ=(α+β+γ+δ)(α−β−γ+δ)(α−δ−β+γ)(α−γ−β+δ)\Delta = (\alpha+\beta+\gamma+\delta) (\alpha-\beta-\gamma+\delta)(\alpha-\delta-\beta+\gamma) (\alpha-\gamma-\beta+\delta)
Δ=(α+β+γ+δ)(α−β+γ−δ)(α−β−γ+δ)(α+β−γ−δ)\Delta = (\alpha+\beta+\gamma+\delta)(\alpha-\beta+\gamma-\delta)(\alpha-\beta-\gamma+\delta)(\alpha+\beta-\gamma-\delta)
Δ=(α+β+γ+δ)(α−β+γ−δ)(α+β−γ−δ)(α−γ−β+δ)\Delta = (\alpha+\beta+\gamma+\delta) (\alpha-\beta+\gamma-\delta) (\alpha+\beta-\gamma-\delta) (\alpha-\gamma-\beta+\delta)
Δ=[(α+β)2−(γ+δ)2][(α−β)2−(γ−δ)2]\Delta = [(\alpha+\beta)^2 - (\gamma+\delta)^2] [(\alpha-\beta)^2 - (\gamma-\delta)^2]
Δ=[(α+β+γ+δ)(α+β−γ−δ)][(α−β+γ−δ)(α−β−γ+δ)]\Delta = [(\alpha+\beta+\gamma+\delta)(\alpha+\beta-\gamma-\delta)][(\alpha-\beta+\gamma-\delta)(\alpha-\beta-\gamma+\delta)]
Δ=[(α+β)2−(γ+δ)2][(α−β)2−(γ−δ)2]\Delta = [(\alpha+\beta)^2 - (\gamma+\delta)^2][(\alpha-\beta)^2 - (\gamma-\delta)^2]
Δ=[(α+β)2(α−β)2−(α+β)2(γ−δ)2−(γ+δ)2(α−β)2+(γ+δ)2(γ−δ)2]\Delta = [(\alpha+\beta)^2(\alpha-\beta)^2 - (\alpha+\beta)^2(\gamma-\delta)^2 - (\gamma+\delta)^2(\alpha-\beta)^2 + (\gamma+\delta)^2(\gamma-\delta)^2]
Δ=[(α2−β2)2−(α+β)2(γ−δ)2−(γ+δ)2(α−β)2+(γ2−δ2)2]\Delta = [(\alpha^2-\beta^2)^2 - (\alpha+\beta)^2(\gamma-\delta)^2 - (\gamma+\delta)^2(\alpha-\beta)^2 + (\gamma^2-\delta^2)^2]
Δ=(α+β+γ+δ)(α−β+γ−δ)(α+β−γ−δ)(α−β−γ+δ)\Delta = (\alpha+\beta+\gamma+\delta)(\alpha-\beta+\gamma-\delta)(\alpha+\beta-\gamma-\delta)(\alpha-\beta-\gamma+\delta)

3. 最終的な答え

(α+β+γ+δ)(α−β+γ−δ)(α+β−γ−δ)(α−β−γ+δ)(\alpha+\beta+\gamma+\delta)(\alpha-\beta+\gamma-\delta)(\alpha+\beta-\gamma-\delta)(\alpha-\beta-\gamma+\delta)
あるいは
[(α+β)2−(γ+δ)2][(α−β)2−(γ−δ)2][(\alpha+\beta)^2 - (\gamma+\delta)^2][(\alpha-\beta)^2 - (\gamma-\delta)^2]
あるいは
(α2−β2)2+(γ2−δ2)2−(α+β)2(γ−δ)2−(α−β)2(γ+δ)2(\alpha^2-\beta^2)^2 + (\gamma^2-\delta^2)^2 - (\alpha+\beta)^2 (\gamma-\delta)^2 - (\alpha-\beta)^2(\gamma+\delta)^2

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