与えられた方程式・不等式を解く問題です。 (1) $|x+1|=3x$ (2) $|x-3| \le -2x$ (3) $|2x-1| < 3x+2$

1. 問題の内容

与えられた方程式・不等式を解く問題です。

(1) $|x+1|=3x$

(2) $|x-3| \le -2x$

(3) $|2x-1| < 3x+2$

2. 解き方の手順

(1) $|x+1|=3x$

絶対値記号を外すために場合分けを行います。

(i) $x+1 \ge 0$、つまり$x \ge -1$ のとき

$x+1 = 3x$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

これは$x \ge -1$を満たすので解の一つです。

(ii) $x+1 < 0$、つまり$x < -1$ のとき

$-(x+1) = 3x$

$-x-1 = 3x$

$4x = -1$

$x = -\frac{1}{4}$

これは$x < -1$を満たさないので、解ではありません。

(2) $|x-3| \le -2x$

絶対値記号を外すために場合分けを行います。

(i) $x-3 \ge 0$、つまり$x \ge 3$ のとき

$x-3 \le -2x$

$3x \le 3$

$x \le 1$

これは$x \ge 3$を満たさないので、この範囲に解はありません。

(ii) $x-3 < 0$、つまり$x < 3$ のとき

$-(x-3) \le -2x$

$-x+3 \le -2x$

$x \le -3$

したがって、$x \le -3$ が解の範囲です。

(3) $|2x-1| < 3x+2$

絶対値記号を外すために場合分けを行います。

(i) $2x-1 \ge 0$、つまり$x \ge \frac{1}{2}$ のとき

$2x-1 < 3x+2$

$-3 < x$

これは$x \ge \frac{1}{2}$を満たすので、$x \ge \frac{1}{2}$ が解の範囲です。

(ii) $2x-1 < 0$、つまり$x < \frac{1}{2}$ のとき

$-(2x-1) < 3x+2$

$-2x+1 < 3x+2$

$-1 < 5x$

$x > -\frac{1}{5}$

したがって、$-\frac{1}{5} < x < \frac{1}{2}$ が解の範囲です。

(i)と(ii)を合わせると、$x > -\frac{1}{5}$ が解の範囲です。

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1}{2}$

(2) $x \le -3$

(3) $x > -\frac{1}{5}$