$a$ を正の定数として、不等式 $6x^2 - (a+12)x - a^2 + a + 6 < 0$ を考える。この不等式を因数分解し、さらに $a = 2\sqrt{19}$ のときの不等式を満たす最小の整数 $x$ を求める。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数として、不等式 $6x^2 - (a+12)x - a^2 + a + 6 < 0$ を考える。この不等式を因数分解し、さらに $a = 2\sqrt{19}$ のときの不等式を満たす最小の整数 $x$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を因数分解する。

$6x^2 - (a+12)x - a^2 + a + 6 < 0$

$6x^2 - (a+12)x - (a^2 - a - 6) < 0$

$6x^2 - (a+12)x - (a-3)(a+2) < 0$

$6x^2 - (a+12)x - (a-3)(a+2) = (2x - (a-3))(3x + (a+2))$ と因数分解できる。

したがって、

$(2x - a + 3)(3x + a + 2) < 0$

したがって、アは2、イは12, ウは3, エは3となる。

次に、$a = 2\sqrt{19}$ のとき、

$(2x - 2\sqrt{19} + 3)(3x + 2\sqrt{19} + 2) < 0$

この不等式を解く。

$2x - 2\sqrt{19} + 3 = 0$ となるのは、$x = \sqrt{19} - \frac{3}{2}$ のとき。

$3x + 2\sqrt{19} + 2 = 0$ となるのは、$x = -\frac{2\sqrt{19} + 2}{3}$ のとき。

$\sqrt{19}$ は $4 < \sqrt{19} < 5$ だから、

$4 - \frac{3}{2} < \sqrt{19} - \frac{3}{2} < 5 - \frac{3}{2}$

$2.5 < \sqrt{19} - \frac{3}{2} < 3.5$

また、

$\frac{2\sqrt{19} + 2}{3}$ についても、

$\frac{2\times4 + 2}{3} < \frac{2\sqrt{19} + 2}{3} < \frac{2\times5 + 2}{3}$

$\frac{10}{3} < \frac{2\sqrt{19} + 2}{3} < 4$

$3.33... < \frac{2\sqrt{19} + 2}{3} < 4$

よって、$x$ の範囲は $-\frac{2\sqrt{19} + 2}{3} < x < \sqrt{19} - \frac{3}{2}$ である。

おおよそ $-4 < x < 3.5$ なので、最小の整数は $-3$。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 3

ウ: 3

エ: -2

オカ: -3

$(2x-a+3)(3x+a+2) < 0$

$x$ の最小の整数値は $-3$