仕入れ価格100円の商品を1個あたり$x$円の儲けで$100+x$円で販売するとき、1日の販売個数は$240-2x$個となる。1日の儲け$y$を$x$の関数で表し、$y$が最大となる$x$の値と、そのときの$y$の最大値を求める。さらに、$y \ge 7000$を満たす最小の販売価格$100+x$を求める。ただし、$0 \le x \le 100$とする。

1. 問題の内容

仕入れ価格100円の商品を1個あたり$x$円の儲けで$100+x$円で販売するとき、1日の販売個数は$240-2x$個となる。1日の儲け$y$を$x$の関数で表し、$y$が最大となる$x$の値と、そのときの$y$の最大値を求める。さらに、$y \ge 7000$を満たす最小の販売価格$100+x$を求める。ただし、$0 \le x \le 100$とする。

2. 解き方の手順

まず、1日の儲け$y$を$x$の関数として表す。$y$は1個あたりの儲け$x$に1日の販売個数$240-2x$を掛けたものなので、

$$y = x(240-2x) = -2x^2 + 240x$$

次に、$y$が最大となる$x$の値を求めるために、$y$を平方完成する。

$$y = -2(x^2 - 120x) = -2(x^2 - 120x + 3600 - 3600) = -2(x-60)^2 + 7200$$

したがって、$y$は$x=60$のとき最大値7200をとる。これは、$0 \le x \le 100$を満たしている。

次に、$y \ge 7000$を満たす最小の$100+x$を求める。

$$-2x^2 + 240x \ge 7000$$

$$-2x^2 + 240x - 7000 \ge 0$$

$$2x^2 - 240x + 7000 \le 0$$

$$x^2 - 120x + 3500 \le 0$$

解の公式を使って、$x^2 - 120x + 3500 = 0$の解を求めると、

$$x = \frac{120 \pm \sqrt{120^2 - 4 \cdot 3500}}{2} = \frac{120 \pm \sqrt{14400 - 14000}}{2} = \frac{120 \pm \sqrt{400}}{2} = \frac{120 \pm 20}{2}$$

よって、$x = 50, 70$

$x^2 - 120x + 3500 \le 0$を満たす$x$の範囲は、$50 \le x \le 70$となる。

したがって、$y \ge 7000$を満たす最小の$x$は$x=50$である。

よって、求める販売価格は$100+x = 100+50 = 150$である。

3. 最終的な答え

* $y = -2x^2 + 240x$

* $x = 60$のとき最大値7200

* $100 + x = 150$