1. $(x^2+2x-3)^6$ の展開式における $x^5$ の係数を求める。

1. 問題の内容

1. $(x^2+2x-3)^6$ の展開式における $x^5$ の係数を求める。

2. $(x^2 - \frac{1}{3x})^{30}$ の展開式における $x^{51}$ の係数を求める。

2. 解き方の手順

1. $(x^2+2x-3)^6$ の展開式における $x^5$ の係数について

$x^2+2x-3 = (x+3)(x-1)$ であるが、多項定理を用いる方が簡潔である。

$(x^2+2x-3)^6$ を展開したときの一般項は

$\frac{6!}{p!q!r!} (x^2)^p (2x)^q (-3)^r$ であり、$p+q+r = 6$ を満たす。

ここで、$x^5$ の項の係数を求めたいので、$2p+q=5$ を満たす $p,q,r$ を探す。

$p, q, r$ は非負の整数である。

$p=0$ のとき $q=5$ となり、$r=6-0-5=1$ 。このときの項は $\frac{6!}{0!5!1!} (x^2)^0 (2x)^5 (-3)^1 = 6 \cdot 32x^5 \cdot (-3) = -576x^5$ 。

$p=1$ のとき $q=3$ となり、$r=6-1-3=2$ 。このときの項は $\frac{6!}{1!3!2!} (x^2)^1 (2x)^3 (-3)^2 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 8x^5 \cdot 9 = 60 \cdot 8 \cdot 9 x^5 = 4320x^5$ 。

$p=2$ のとき $q=1$ となり、$r=6-2-1=3$ 。このときの項は $\frac{6!}{2!1!3!} (x^2)^2 (2x)^1 (-3)^3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 2x^5 \cdot (-27) = 60 \cdot (-54) x^5 = -3240x^5$ 。

したがって、$x^5$ の係数は $-576 + 4320 - 3240 = 504$ 。

2. $(x^2 - \frac{1}{3x})^{30}$ の展開式における $x^{51}$ の係数について

二項定理より、一般項は ${}_{30}C_r (x^2)^{30-r} (-\frac{1}{3x})^r = {}_{30}C_r x^{60-2r} (-\frac{1}{3})^r x^{-r} = {}_{30}C_r (-\frac{1}{3})^r x^{60-3r}$ となる。

$x^{51}$ の係数を求めたいので、$60-3r = 51$ となる $r$ を探す。

$3r = 9$ より $r=3$ である。

したがって、$x^{51}$ の項は ${}_{30}C_3 (-\frac{1}{3})^3 x^{51} = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot (-\frac{1}{27}) x^{51} = 10 \cdot 29 \cdot 14 \cdot (-\frac{1}{27}) x^{51} = -\frac{4060}{27} x^{51}$ となる。

よって係数は $-\frac{4060}{27}$ 。

3. 最終的な答え

1. 504

2. $-\frac{4060}{27}$