3次方程式 $x^3+2x^2-3x-2=0$ の解を $\alpha, \beta, \gamma$ とおくとき、 (6) $\alpha+\beta+\gamma$ および $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ の値を求めよ。 (7) $\alpha\beta, \beta\gamma, \gamma\alpha$ を3つの解にもつ $x$ の3次方程式を1つ作れ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3+2x^2-3x-2=0$ の解を $\alpha, \beta, \gamma$ とおくとき、

(6) $\alpha+\beta+\gamma$ および $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ の値を求めよ。

(7) $\alpha\beta, \beta\gamma, \gamma\alpha$ を3つの解にもつ $x$ の3次方程式を1つ作れ。

2. 解き方の手順

(6) 解と係数の関係より、

$\alpha+\beta+\gamma = -2$

$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -3$

$\alpha\beta\gamma = 2$

ここで、

$(\alpha+\beta+\gamma)^2 = \alpha^2+\beta^2+\gamma^2+2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)$

であるから、

$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = (-2)^2 - 2(-3) = 4+6 = 10$

(7) 解と係数の関係を逆に利用する。$\alpha\beta, \beta\gamma, \gamma\alpha$ を解に持つ3次方程式を $x^3+ax^2+bx+c=0$ とする。

このとき解と係数の関係より、

$-a = \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -3$

$b = \alpha\beta\cdot\beta\gamma + \beta\gamma\cdot\gamma\alpha + \gamma\alpha\cdot\alpha\beta = \alpha\beta^2\gamma + \alpha\beta\gamma^2 + \alpha^2\beta\gamma = \alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma) = 2(-2) = -4$

$-c = \alpha\beta\cdot\beta\gamma\cdot\gamma\alpha = (\alpha\beta\gamma)^2 = 2^2 = 4$

よって、

$a = 3$

$b = -4$

$c = -4$

求める3次方程式は、$x^3+3x^2-4x-4 = 0$

3. 最終的な答え

(6) $\alpha+\beta+\gamma = -2$, $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = 10$

(7) $x^3+3x^2-4x-4 = 0$