3次方程式 $x^3 + 2x^2 - 3x - 2 = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とする。 (6) $\alpha + \beta + \gamma$ と $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ の値を求めよ。 (7) $\alpha\beta, \beta\gamma, \gamma\alpha$ を解にもつ3次方程式を一つ求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 2x^2 - 3x - 2 = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とする。

(6) $\alpha + \beta + \gamma$ と $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ の値を求めよ。

(7) $\alpha\beta, \beta\gamma, \gamma\alpha$ を解にもつ3次方程式を一つ求めよ。

2. 解き方の手順

(6) 解と係数の関係より、

$\alpha + \beta + \gamma = -2$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = -3$

$\alpha\beta\gamma = 2$

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$

$= (-2)^2 - 2(-3) = 4 + 6 = 10$

(7) 求める3次方程式を $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ とする。解と係数の関係より、

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = -3$

$(\alpha\beta)(\beta\gamma) + (\beta\gamma)(\gamma\alpha) + (\gamma\alpha)(\alpha\beta) = \alpha\beta\gamma(\alpha + \beta + \gamma) = 2(-2) = -4$

$(\alpha\beta)(\beta\gamma)(\gamma\alpha) = (\alpha\beta\gamma)^2 = 2^2 = 4$

したがって、

$x^3 - (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x^2 + (\alpha\beta\gamma(\alpha + \beta + \gamma))x - (\alpha\beta\gamma)^2 = 0$

$x^3 - (-3)x^2 + (-4)x - 4 = 0$

$x^3 + 3x^2 - 4x - 4 = 0$

3. 最終的な答え

(6) $\alpha + \beta + \gamma = -2$, $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 10$

(7) $x^3 + 3x^2 - 4x - 4 = 0$