(1) 絶対値不等式 $|x-2| < 3$ を解け。 (2) 四次方程式 $x^4 - 7x^2 + 1 = 0$ を解け。

1. 問題の内容

(1) 絶対値不等式 $|x-2| < 3$ を解け。

(2) 四次方程式 $x^4 - 7x^2 + 1 = 0$ を解け。

2. 解き方の手順

(1) 絶対値不等式 $|x-2| < 3$ を解く。

絶対値の定義から、$-3 < x-2 < 3$ が成り立つ。

各辺に2を加えると、$-3+2 < x-2+2 < 3+2$。

したがって、$-1 < x < 5$ となる。

(2) 四次方程式 $x^4 - 7x^2 + 1 = 0$ を解く。

$x^2 = t$ とおくと、$t^2 - 7t + 1 = 0$ という二次方程式になる。

この二次方程式を解くと、

$t = \frac{7 \pm \sqrt{7^2 - 4(1)(1)}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{49-4}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{7 \pm 3\sqrt{5}}{2}$.

$x^2 = t$ であるから、$x = \pm \sqrt{t}$.

したがって、 $x = \pm \sqrt{\frac{7+3\sqrt{5}}{2}}$ と $x = \pm \sqrt{\frac{7-3\sqrt{5}}{2}}$ である。

ここで、

$\frac{7+3\sqrt{5}}{2} = \frac{14+6\sqrt{5}}{4} = \frac{9+5+6\sqrt{5}}{4} = \frac{3^2+(\sqrt{5})^2+2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5}}{4} = \frac{(3+\sqrt{5})^2}{4}$

$\frac{7-3\sqrt{5}}{2} = \frac{14-6\sqrt{5}}{4} = \frac{9+5-6\sqrt{5}}{4} = \frac{3^2+(\sqrt{5})^2-2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5}}{4} = \frac{(3-\sqrt{5})^2}{4}$

したがって、 $x = \pm \frac{3+\sqrt{5}}{2}$ と $x = \pm \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $-1 < x < 5$

(2) $x = \pm \frac{3+\sqrt{5}}{2}, \pm \frac{3-\sqrt{5}}{2}$