与えられた積分 $\int (x-1)^2 dx$ が、$\frac{1}{3}(x-1)^3 + C$ で正しいか確認する問題です。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int (x-1)^2 dx$ が、$\frac{1}{3}(x-1)^3 + C$ で正しいか確認する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $\frac{1}{3}(x-1)^3 + C$ を微分して、積分の中身 $(x-1)^2$ になるか確認します。

$\frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{3}(x-1)^3 + C \right] = \frac{1}{3} \cdot 3 (x-1)^2 \cdot \frac{d}{dx}(x-1) + 0 = (x-1)^2 \cdot 1 = (x-1)^2$

微分した結果が積分の中身 $(x-1)^2$ と一致したので、与えられた関数は積分 $\int (x-1)^2 dx$ の解の一つです。

念のため、$\int (x-1)^2 dx$を別の方法で計算し、結果を比較してみましょう。

$\int (x-1)^2 dx = \int (x^2 - 2x + 1) dx = \int x^2 dx - 2 \int x dx + \int 1 dx = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + x + C'$

ここで、$C'$は積分定数です。

与えられた答え $\frac{1}{3}(x-1)^3 + C$ を展開すると、

$\frac{1}{3}(x-1)^3 + C = \frac{1}{3}(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) + C = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + x - \frac{1}{3} + C$

$C'' = C - \frac{1}{3}$とすると、これは$\frac{1}{3}x^3 - x^2 + x + C''$ となり、同じ形の関数です。

3. 最終的な答え

与えられた $\frac{1}{3}(x-1)^3 + C$ は $\int (x-1)^2 dx$ の解として正しいです。