与えられた式 $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}$ を計算し、簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}$ を計算し、簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数の分母を有理化します。

$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1}$ の分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{3}+1$ を掛けます。

$\frac{2\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2\sqrt{6}+2\sqrt{2}}{3-1} = \frac{2\sqrt{6}+2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{6}+\sqrt{2}$

次に、$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}$ の分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{2}-1$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{2-1} = \sqrt{6}-\sqrt{3}$

したがって、元の式は次のようになります。

$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} = (\sqrt{6}+\sqrt{2}) - (\sqrt{6}-\sqrt{3}) = \sqrt{6}+\sqrt{2} - \sqrt{6}+\sqrt{3} = \sqrt{2}+\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$