$\frac{1}{2-\sqrt{2}}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、$a$, $b$, および $a^2+b^2$ の値を求める問題です。選択肢から該当するものを選びます。

1. 問題の内容

$\frac{1}{2-\sqrt{2}}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、$a$, $b$, および $a^2+b^2$ の値を求める問題です。選択肢から該当するものを選びます。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{2-\sqrt{2}}$ を有理化します。

$\frac{1}{2-\sqrt{2}} = \frac{1}{2-\sqrt{2}} \cdot \frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{2+\sqrt{2}}{4-2} = \frac{2+\sqrt{2}}{2} = 1+\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sqrt{2}$ は約 1.414 なので、$\frac{\sqrt{2}}{2} \approx \frac{1.414}{2} \approx 0.707$ となります。

したがって、$1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 1 + 0.707 = 1.707$ となります。

整数部分 $a$ は 1 になるので、$a=1$（選択肢①）です。

$a=1$ではないため、有理化を行った式から整数部分と小数部分を計算し直します。

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

この数の整数部分 $a$ は1 (選択肢①) なので、$a=1$ です。

小数部分 $b$ は $\frac{1}{2-\sqrt{2}}$ から整数部分 $a=1$ を引いたものです。

$b = \frac{1}{2-\sqrt{2}} - 1 = 1+\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、$b = \frac{\sqrt{2}}{2}$（選択肢⑩）です。

次に、$a^2+b^2$ を計算します。

$a^2 + b^2 = (1)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 + \frac{2}{4} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

したがって、$a^2+b^2 = \frac{3}{2}$（選択肢⑥）です。

3. 最終的な答え

ア：① (1)

イ：⑩ ($\frac{\sqrt{2}}{2}$)

ウ：⑥ ($\frac{3}{2}$)