命題「$ab \ge 1 \implies a \ge 1$ かつ $b \ge 1$」の逆、対偶、裏を述べ、それぞれの真偽を判定する。ただし、$a, b$ は実数とする。

1. 問題の内容

命題「$ab \ge 1 \implies a \ge 1$ かつ $b \ge 1$」の逆、対偶、裏を述べ、それぞれの真偽を判定する。ただし、$a, b$ は実数とする。

2. 解き方の手順

元の命題を $P \implies Q$ と表す。ここで、$P$ は $ab \ge 1$、$Q$ は $a \ge 1$ かつ $b \ge 1$ である。

* **逆:** $Q \implies P$ であり、「$a \ge 1$ かつ $b \ge 1 \implies ab \ge 1$」となる。

* **対偶:** $\lnot Q \implies \lnot P$ であり、「$a < 1$ または $b < 1 \implies ab < 1$」となる。

* **裏:** $\lnot P \implies \lnot Q$ であり、「$ab < 1 \implies a < 1$ または $b < 1$」となる。

それぞれの真偽を判定する。

* **逆:** $a \ge 1$ かつ $b \ge 1$ ならば、$ab \ge 1$ は明らかに成り立つので真である。

* **対偶:** $ab \ge 1 \implies a \ge 1$ かつ $b \ge 1$ が偽であることと、その対偶 $a < 1$ または $b < 1 \implies ab < 1$ が偽であることは同値である。

$a= -2, b = -1$ のとき、$ab = 2 > 1$ であるが、$a < 1$ かつ $b < 1$ である。

よって、$a < 1$ または $b < 1$ であっても $ab < 1$ とは限らない。

したがって、対偶は偽である。

* **裏:** $a= -2, b = -1$ のとき、$ab = 2 > 1$ であるが、$a < 1$ かつ $b < 1$ である。

よって、$a < 1$ または $b < 1$ であっても $ab < 1$ とは限らない。

$ab<1$ であっても $a<1$ または $b<1$ とは限らないので偽である。

例えば $a= -2$, $b = 0$ のとき、$ab=0<1$ だが、$a < 1$ かつ $b < 1$ を満たす。

また、$a= -2$, $b = \frac{-1}{2}$ のとき、$ab = 1$ である。

3. 最終的な答え

逆は「$a \ge 1$ かつ $b \ge 1 \implies ab \ge 1$」であり、真である。

対偶は「$a < 1$ または $b < 1 \implies ab < 1$」であり、偽である。

裏は「$ab < 1 \implies a < 1$ または $b < 1$」であり、偽である。