与えられた不等式 $4x - 3 < x^2 \leq 3x + 10$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $4x - 3 < x^2 \leq 3x + 10$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

この不等式は、$4x - 3 < x^2$ と $x^2 \leq 3x + 10$ という2つの不等式に分解できます。 それぞれを解き、共通の範囲を求めます。

(i) $4x - 3 < x^2$ を解く。

この不等式を変形すると

$x^2 - 4x + 3 > 0$

$(x - 1)(x - 3) > 0$

したがって、$x < 1$ または $x > 3$

(ii) $x^2 \leq 3x + 10$ を解く。

この不等式を変形すると

$x^2 - 3x - 10 \leq 0$

$(x - 5)(x + 2) \leq 0$

したがって、$-2 \leq x \leq 5$

(i)と(ii)の共通範囲を求めます。

(i)より、$x < 1$ または $x > 3$

(ii)より、$-2 \leq x \leq 5$

数直線を考えると、共通範囲は $-2 \leq x < 1$ と $3 < x \leq 5$ となります。

3. 最終的な答え

$-2 \leq x < 1$ または $3 < x \leq 5$