2次不等式 $x^2 + kx + 2k - 1 > 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $k$ の取りうる値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 + kx + 2k - 1 > 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $k$ の取りうる値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次不等式 $x^2 + kx + 2k - 1 > 0$ の解がすべての実数であるためには、2次関数 $y = x^2 + kx + 2k - 1$ のグラフが常に $x$ 軸より上にある必要があります。これは、2次方程式 $x^2 + kx + 2k - 1 = 0$ が実数解を持たないことを意味します。つまり、判別式 $D$ が負である必要があります。

判別式 $D$ は、

$$D = k^2 - 4(2k - 1) = k^2 - 8k + 4$$

$D < 0$ となる $k$ の範囲を求めます。

$$k^2 - 8k + 4 < 0$$

2次方程式 $k^2 - 8k + 4 = 0$ の解は、解の公式より

$$k = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 16}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3}$$

したがって、$k^2 - 8k + 4 < 0$ を満たす $k$ の範囲は

$$4 - 2\sqrt{3} < k < 4 + 2\sqrt{3}$$

3. 最終的な答え

$4 - 2\sqrt{3} < k < 4 + 2\sqrt{3}$