仕入れ価格100円の商品を1個あたり$100+x$円で販売すると、1日の販売個数が$240-2x$個となる。1日の儲け$y$を$x$の2次関数で表し、$y$が最大となる$x$の値と、その時の最大値、および$y \ge 7000$を満たす最小の販売価格$100+x$を求める。ただし、$0 \le x \le 100$とする。

1. 問題の内容

仕入れ価格100円の商品を1個あたり$100+x$円で販売すると、1日の販売個数が$240-2x$個となる。1日の儲け$y$を$x$の2次関数で表し、$y$が最大となる$x$の値と、その時の最大値、および$y \ge 7000$を満たす最小の販売価格$100+x$を求める。ただし、$0 \le x \le 100$とする。

2. 解き方の手順

まず、$y$を$x$の関数として表す。

$y = x(240 - 2x) = -2x^2 + 240x$

次に、$y$を平方完成する。

$y = -2(x^2 - 120x) = -2(x^2 - 120x + 3600 - 3600) = -2((x - 60)^2 - 3600) = -2(x - 60)^2 + 7200$

したがって、$y = -2(x-60)^2 + 7200$である。

$0 \le x \le 100$の範囲で、$y$が最大となるのは、$x = 60$のときで、そのときの最大値は$7200$である。

次に、$y \ge 7000$を満たす最小の$100+x$を求める。

$-2(x - 60)^2 + 7200 \ge 7000$

$-2(x - 60)^2 \ge -200$

$(x - 60)^2 \le 100$

$-10 \le x - 60 \le 10$

$50 \le x \le 70$

$y \ge 7000$を満たす最小の$x$は$50$である。

したがって、$100 + x = 100 + 50 = 150$である。

3. 最終的な答え

$y = -2x^2 + 240x$

$x = 60$のとき最大値$7200$をとる。

$y \ge 7000$を満たす最小の販売価格$100+x$は$150$である。