次の2つの極限値を求める問題です。 a) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$ b) $\lim_{x \to 0} \frac{(\log(1-x))^2}{2x^2}$

1. 問題の内容

次の2つの極限値を求める問題です。

a) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$

b) $\lim_{x \to 0} \frac{(\log(1-x))^2}{2x^2}$

2. 解き方の手順

a) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$ を求める。

この極限は不定形 $\frac{\infty}{\infty}$ なので、ロピタルの定理を適用できる。

まず1回微分すると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x}$

これも不定形 $\frac{\infty}{\infty}$ なので、もう1回ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x} = 0$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = 0$

b) $\lim_{x \to 0} \frac{(\log(1-x))^2}{2x^2}$ を求める。

この極限も不定形 $\frac{0}{0}$ なので、ロピタルの定理を適用できる。

$\log(1-x)$ のマクローリン展開は $\log(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \dots$ であるから、

$\lim_{x \to 0} \frac{(\log(1-x))^2}{2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \dots)^2}{2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2(1 + \frac{x}{2} + \dots)^2}{2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + \frac{x}{2} + \dots)^2}{2} = \frac{1}{2}$

または、ロピタルの定理を用いて解くこともできる。

$\lim_{x \to 0} \frac{(\log(1-x))^2}{2x^2}$ の分子と分母を微分すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{2\log(1-x) \cdot \frac{-1}{1-x}}{4x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\log(1-x)}{2x(1-x)}$

これも不定形 $\frac{0}{0}$ なので、再度ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{-1}{1-x}}{2(1-x) + 2x(-1)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2(1-x)^2 - 2x(1-x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2(1 - 2x + x^2) - 2x + 2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2 - 4x + 2x^2 - 2x + 2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2 - 6x + 4x^2} = \frac{1}{2}$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{(\log(1-x))^2}{2x^2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

a) 0

b) $\frac{1}{2}$