関数 $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$ の最大値と最小値を求めよ。

解析学関数の最大最小微分極値増減
2025/7/19

1. 問題の内容

関数 f(x)=x1+x2f(x) = \frac{x}{1+x^2} の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

f(x)f(x) の最大値と最小値を求めるために、微分を用いて関数の増減を調べます。
まず、f(x)f(x) を微分します。
f(x)=(1+x2)(1)x(2x)(1+x2)2=1+x22x2(1+x2)2=1x2(1+x2)2f'(x) = \frac{(1+x^2)(1) - x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2-2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}
次に、f(x)=0f'(x) = 0 となる xx を求めます。
1x2(1+x2)2=0\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} = 0
1x2=01-x^2 = 0
x2=1x^2 = 1
x=±1x = \pm 1
x=1x=-1x=1x=1 が極値の候補となります。
f(x)f'(x) の符号を調べるために、x<1x < -11<x<1-1 < x < 1x>1x > 1 の範囲で f(x)f'(x) の符号を調べます。
- x<1x < -1 のとき、x2>1x^2 > 1 なので、1x2<01-x^2 < 0。したがって、f(x)<0f'(x) < 0
- 1<x<1-1 < x < 1 のとき、x2<1x^2 < 1 なので、1x2>01-x^2 > 0。したがって、f(x)>0f'(x) > 0
- x>1x > 1 のとき、x2>1x^2 > 1 なので、1x2<01-x^2 < 0。したがって、f(x)<0f'(x) < 0
したがって、x=1x=-1 で極小値、x=1x=1 で極大値をとります。
f(1)=11+(1)2=11+1=12f(-1) = \frac{-1}{1+(-1)^2} = \frac{-1}{1+1} = -\frac{1}{2}
f(1)=11+12=11+1=12f(1) = \frac{1}{1+1^2} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}
limxf(x)=0\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 であり、limxf(x)=0\lim_{x \to \infty} f(x) = 0 であるため、極小値 f(1)=12f(-1) = -\frac{1}{2} が最小値、極大値 f(1)=12f(1) = \frac{1}{2} が最大値となります。

3. 最終的な答え

最大値: 12\frac{1}{2}
最小値: 12-\frac{1}{2}

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