与えられた関数の導関数を求める問題です。今回は、問題の番号14に取り組みます。 関数は$f(x) = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$です。

1. 問題の内容

与えられた関数の導関数を求める問題です。今回は、問題の番号14に取り組みます。

関数は$f(x) = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$です。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分公式を用います。$f(x) = \sqrt{g(x)}$のとき、$f'(x) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$です。

この場合、$g(x) = \frac{1-x}{1+x}$なので、$g'(x)$を求める必要があります。

$g(x) = \frac{1-x}{1+x}$の微分は、商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$を利用します。

ここで、$u = 1-x$、$v = 1+x$とすると、$u' = -1$、$v' = 1$となります。

したがって、

$g'(x) = \frac{(-1)(1+x) - (1-x)(1)}{(1+x)^2} = \frac{-1-x - 1 + x}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2}$

次に、$f'(x)$を求めます。

$f'(x) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}} = \frac{\frac{-2}{(1+x)^2}}{2\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}} = \frac{-1}{(1+x)^2\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}$

さらに式を整理します。

$f'(x) = \frac{-1}{(1+x)^2\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}} = \frac{-1}{(1+x)^{2-\frac{1}{2}}\sqrt{1-x}} = \frac{-1}{(1+x)^{\frac{3}{2}}\sqrt{1-x}} = \frac{-1}{\sqrt{(1+x)^3(1-x)}} = \frac{-1}{\sqrt{(1+x)^2(1-x^2)}} = \frac{-1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}$.

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{-1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}$