次の定積分の値を求めます。 a) $\int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} dx$ b) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}} dx$

1. 問題の内容

次の定積分の値を求めます。

a) $\int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} dx$

b) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}} dx$

2. 解き方の手順

a) $\int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} dx$ を計算します。

$\frac{1}{x^2}$ の原始関数は $-\frac{1}{x}$ です。

したがって、

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{2} = -\frac{1}{2} - (-1) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

b) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}} dx$ を計算します。

分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}} = \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}}{(\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1})(\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})} = \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}}{(x+2) - (x+1)} = \sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}$

したがって、

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}} dx = \int_{0}^{1} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}) dx$

$\int \sqrt{x+2} dx = \frac{2}{3}(x+2)^{3/2} + C$

$\int \sqrt{x+1} dx = \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C$

$\int_{0}^{1} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}) dx = \left[\frac{2}{3}(x+2)^{3/2} - \frac{2}{3}(x+1)^{3/2}\right]_{0}^{1}$

$= \left(\frac{2}{3}(1+2)^{3/2} - \frac{2}{3}(1+1)^{3/2}\right) - \left(\frac{2}{3}(0+2)^{3/2} - \frac{2}{3}(0+1)^{3/2}\right)$

$= \left(\frac{2}{3}(3)^{3/2} - \frac{2}{3}(2)^{3/2}\right) - \left(\frac{2}{3}(2)^{3/2} - \frac{2}{3}(1)^{3/2}\right)$

$= \frac{2}{3}(3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}) - \frac{2}{3}(2\sqrt{2} - 1)$

$= 2\sqrt{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3} + \frac{2}{3} = 2\sqrt{3} - \frac{8\sqrt{2}}{3} + \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

a) $\frac{1}{2}$

b) $2\sqrt{3} - \frac{8\sqrt{2}}{3} + \frac{2}{3}$