与えられた4つの広義積分を計算する問題です。 (1) $\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2-4} dx$ (2) $\int_{1}^{3} \frac{1}{\sqrt{|x(x-2)|}} dx$ (3) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x(1+x^2)} dx$ (4) $\int_{-\infty}^{0} e^x \sin 2x dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの広義積分を計算する問題です。

(1) $\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2-4} dx$

(2) $\int_{1}^{3} \frac{1}{\sqrt{|x(x-2)|}} dx$

(3) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x(1+x^2)} dx$

(4) $\int_{-\infty}^{0} e^x \sin 2x dx$

2. 解き方の手順

(1)

積分範囲に $x=2$ が含まれており、被積分関数は $x=2$ で定義されないため、広義積分となります。部分分数分解を用いて積分を計算します。

$\frac{1}{x^2-4} = \frac{1}{(x-2)(x+2)} = \frac{1}{4} (\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2})$

$\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2-4} dx = \frac{1}{4} \lim_{a \to 2^+} \int_{a}^{3} (\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}) dx$

$= \frac{1}{4} \lim_{a \to 2^+} [\ln|x-2| - \ln|x+2|]_{a}^{3} = \frac{1}{4} \lim_{a \to 2^+} [\ln|\frac{x-2}{x+2}|]_{a}^{3}$

$= \frac{1}{4} \lim_{a \to 2^+} (\ln|\frac{3-2}{3+2}| - \ln|\frac{a-2}{a+2}|) = \frac{1}{4} (\ln(\frac{1}{5}) - \lim_{a \to 2^+} \ln(\frac{a-2}{a+2}))$

$\lim_{a \to 2^+} \ln(\frac{a-2}{a+2}) = -\infty$ なので、積分は発散します。

(2)

積分範囲に $x=2$ が含まれており、被積分関数は $x=2$ で定義されないため、広義積分となります。

$\int_{1}^{3} \frac{1}{\sqrt{|x(x-2)|}} dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{x(2-x)}} dx + \int_{2}^{3} \frac{1}{\sqrt{x(x-2)}} dx$

ここで, $x = 2\sin^2\theta + 2\cos^2\theta$を利用し, 部分積分を計算する.

$x = 2\sin^2\theta + 2\cos^2\theta$

$x = 2\sin^2\theta$とおくと、$dx = 4 \sin \theta \cos \theta d\theta$

$x(2-x)=2\sin^2 \theta(2-2\sin^2 \theta) = 4\sin^2 \theta \cos^2 \theta$

$\int \frac{1}{\sqrt{x(2-x)}} dx = \int \frac{4\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{4\sin^2\theta\cos^2\theta}} d\theta = \int \frac{4\sin\theta\cos\theta}{2\sin\theta\cos\theta} d\theta = \int 2 d\theta = 2\theta$

$x=2\sin^2 \theta$ より, $\sin^2 \theta = \frac{x}{2}$, $\theta = \arcsin \sqrt{\frac{x}{2}}$

$\int \frac{1}{\sqrt{x(2-x)}} dx = 2 \arcsin \sqrt{\frac{x}{2}}$

$\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{x(2-x)}} dx = \lim_{b \to 2^{-}} [2 \arcsin \sqrt{\frac{x}{2}}]_{1}^{b} = 2 \lim_{b \to 2^{-}} [\arcsin \sqrt{\frac{x}{2}}]_{1}^{b} = 2(\arcsin(1)-\arcsin \sqrt{\frac{1}{2}}) = 2(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$

同様に, $\int_{2}^{3} \frac{1}{\sqrt{x(x-2)}} dx$ は発散する.

(3)

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x(1+x^2)} dx = \int_{1}^{\infty} (\frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^2}) dx = [\ln|x| - \frac{1}{2} \ln(1+x^2)]_{1}^{\infty} = [\ln(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})]_{1}^{\infty}$

$= \lim_{b \to \infty} \ln(\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}) - \ln(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \ln(1) - \ln(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \ln(\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \ln 2$

(4)

$\int_{-\infty}^{0} e^x \sin 2x dx$

部分積分を2回行う.

$I = \int_{-\infty}^{0} e^x \sin 2x dx = [e^x(-\frac{1}{2}\cos 2x)]_{-\infty}^{0} - \int_{-\infty}^{0} e^x(-\frac{1}{2}\cos 2x)dx = [-\frac{1}{2}e^x \cos 2x]_{-\infty}^{0} + \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{0} e^x \cos 2x dx$

$= -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} ([e^x \frac{1}{2}\sin 2x]_{-\infty}^{0} - \int_{-\infty}^{0} e^x \frac{1}{2}\sin 2x dx) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \int_{-\infty}^{0} e^x \sin 2x dx = -\frac{1}{2} - \frac{1}{4}I$

$I = -\frac{1}{2} - \frac{1}{4}I$

$\frac{5}{4}I = -\frac{1}{2}$

$I = -\frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

(1) 発散

(2) 発散

(3) $\frac{1}{2} \ln 2$

(4) $-\frac{2}{5}$