$\int_{0}^{1} \sin^{-1} x \, dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{1} \sin^{-1} x \, dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

この定積分は部分積分を使って解きます。

$u = \sin^{-1} x$ と $dv = dx$ とおきます。

すると、 $du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ と $v = x$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を用いると、

$\int_{0}^{1} \sin^{-1} x \, dx = [x \sin^{-1} x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$

ここで、$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ を計算します。

$t = 1 - x^2$ とおくと、$dt = -2x \, dx$ となり、$x \, dx = -\frac{1}{2} \, dt$ となります。

$x=0$ のとき $t=1$ であり、$x=1$ のとき $t=0$ です。

したがって、

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{t}} (-\frac{1}{2}) \, dt = -\frac{1}{2} \int_{1}^{0} t^{-1/2} \, dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} t^{-1/2} \, dt = \frac{1}{2} [2 t^{1/2}]_{0}^{1} = [t^{1/2}]_{0}^{1} = 1 - 0 = 1$

元の積分に戻ると、

$\int_{0}^{1} \sin^{-1} x \, dx = [x \sin^{-1} x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = (1 \cdot \sin^{-1} 1 - 0 \cdot \sin^{-1} 0) - 1 = \sin^{-1} 1 - 1 = \frac{\pi}{2} - 1$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2} - 1$