曲線 $y = \frac{2}{3} \sqrt{x^3}$ の $0 \le x \le 8$ の範囲における長さを求めます。

## (1) 曲線 $y = \frac{2}{3} \sqrt{x^3}$ の $0 \le x \le 8$ の部分の長さ

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{2}{3} \sqrt{x^3}$ の $0 \le x \le 8$ の範囲における長さを求めます。

2. 解き方の手順

曲線の長さは、以下の積分で計算できます。

$L = \int_a^b \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$

まず、$\frac{dy}{dx}$ を計算します。

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$

次に、$1 + (\frac{dy}{dx})^2$ を計算します。

$1 + (\frac{dy}{dx})^2 = 1 + (\sqrt{x})^2 = 1 + x$

よって、求める曲線の長さは、

$L = \int_0^8 \sqrt{1+x} dx$

ここで、$u = 1+x$ と置換すると、$du = dx$ となります。また、$x=0$ のとき $u=1$、$x=8$ のとき $u=9$ となります。したがって、

$L = \int_1^9 \sqrt{u} du = \int_1^9 u^{\frac{1}{2}} du = \left[\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}\right]_1^9 = \frac{2}{3} (9^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3} (27 - 1) = \frac{2}{3} \cdot 26 = \frac{52}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{52}{3}$

## (2) 曲線 $3y^2 = x(x-1)^2$ の輪線部

1. 問題の内容

曲線 $3y^2 = x(x-1)^2$ の輪線部の長さを求めます。輪線部は $0 \le x \le 1$ の部分です。

2. 解き方の手順

$y = \pm \sqrt{\frac{x(x-1)^2}{3}}$

$y = \pm \frac{|x-1|}{\sqrt{3}} \sqrt{x}$

ここで、$0 \le x \le 1$ の範囲なので、$|x-1| = 1-x$ となります。したがって、$y = \pm \frac{1-x}{\sqrt{3}} \sqrt{x}$

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} (x^{1/2} - x^{3/2})$

$\frac{dy}{dx} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} (\frac{1}{2}x^{-1/2} - \frac{3}{2}x^{1/2}) = \pm \frac{1}{2\sqrt{3}} (x^{-1/2} - 3x^{1/2}) = \pm \frac{1}{2\sqrt{3}} (\frac{1-3x}{\sqrt{x}})$

$(\frac{dy}{dx})^2 = \frac{1}{12} \frac{(1-3x)^2}{x} = \frac{1-6x+9x^2}{12x}$

$1+(\frac{dy}{dx})^2 = 1 + \frac{1-6x+9x^2}{12x} = \frac{12x + 1 - 6x + 9x^2}{12x} = \frac{9x^2 + 6x + 1}{12x} = \frac{(3x+1)^2}{12x}$

$\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} = \sqrt{\frac{(3x+1)^2}{12x}} = \frac{3x+1}{2\sqrt{3x}}$

求める曲線の長さは、2倍する必要があります。

$L = 2\int_0^1 \frac{3x+1}{2\sqrt{3x}}dx = \int_0^1 \frac{3x+1}{\sqrt{3x}}dx = \int_0^1 \frac{3x}{\sqrt{3x}} + \frac{1}{\sqrt{3x}}dx = \int_0^1 \sqrt{3x} + \frac{1}{\sqrt{3x}}dx = \int_0^1 \sqrt{3} x^{1/2} + \frac{1}{\sqrt{3}} x^{-1/2}dx$

$L = \left[\sqrt{3} \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{1}{\sqrt{3}} 2x^{1/2}\right]_0^1 = \sqrt{3} \frac{2}{3} + \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4\sqrt{3}}{3}$