問題は、猿が時刻 $t=0$ に $(l, h)$ の位置から自由落下すると仮定して、以下の問いに答えるものです。 (2) 猿の位置ベクトル $\vec{R}(t) = X(t) \vec{e}_x + Y(t) \vec{e}_y$ を $t$ の関数として求めなさい。 (3) ボールが $x$ 方向に距離 $l$ の位置に到達する時間 $t_l$ を求めなさい。 (4) ボールが猿に当たるための条件を、$\tan \theta$ の形で求めなさい（ただし、$\vec{r}(t)$ はボールの位置ベクトル）。

1. 問題の内容

問題は、猿が時刻 $t=0$ に $(l, h)$ の位置から自由落下すると仮定して、以下の問いに答えるものです。

(2) 猿の位置ベクトル $\vec{R}(t) = X(t) \vec{e}_x + Y(t) \vec{e}_y$ を $t$ の関数として求めなさい。

(3) ボールが $x$ 方向に距離 $l$ の位置に到達する時間 $t_l$ を求めなさい。

(4) ボールが猿に当たるための条件を、$\tan \theta$ の形で求めなさい（ただし、$\vec{r}(t)$ はボールの位置ベクトル）。

2. 解き方の手順

(2) 猿の位置ベクトル $\vec{R}(t)$ を求める。

猿は時刻 $t=0$ に $(l, h)$ の位置から自由落下するので、水平方向の運動はなく、鉛直方向に重力加速度 $g$ で落下する。したがって、時刻 $t$ における猿の位置は、

$X(t) = l$

$Y(t) = h - \frac{1}{2} g t^2$

よって、猿の位置ベクトルは

$\vec{R}(t) = l \vec{e}_x + (h - \frac{1}{2} g t^2) \vec{e}_y$

(3) ボールが $x$ 方向に距離 $l$ の位置に到達する時間 $t_l$ を求める。

これは問題文の指示が不足しており、ボールがどのように発射されるのかが不明です。原点から初速度 $v_0$ で角度 $\theta$ で発射されると仮定します。ボールの水平方向の速度成分は $v_0 \cos \theta$ なので、$x$ 方向に距離 $l$ 進むのにかかる時間 $t_l$ は、

$l = v_0 \cos \theta \cdot t_l$

したがって、

$t_l = \frac{l}{v_0 \cos \theta}$

(4) ボールが猿に当たるための条件を $\tan \theta$ の形で求める。

ボールが猿に当たるためには、ある時刻 $t^*$ で、ボールの位置 $\vec{r}(t^*)$ と猿の位置 $\vec{R}(t^*)$ が一致する必要があります。ボールの初期位置を原点 $(0, 0)$ とし、初速度を $v_0$、発射角度を $\theta$ とすると、ボールの位置ベクトルは、

$\vec{r}(t) = (v_0 \cos \theta \cdot t) \vec{e}_x + (v_0 \sin \theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^2) \vec{e}_y$

猿に当たる時刻 $t^*$ において、$\vec{r}(t^*) = \vec{R}(t^*)$ が成り立つ必要があるので、

$v_0 \cos \theta \cdot t^* = l$

$v_0 \sin \theta \cdot t^* - \frac{1}{2} g (t^*)^2 = h - \frac{1}{2} g (t^*)^2$

2番目の式から、

$v_0 \sin \theta \cdot t^* = h$

1番目の式より、$t^* = \frac{l}{v_0 \cos \theta}$ なので、これを2番目の式に代入すると、

$v_0 \sin \theta \cdot \frac{l}{v_0 \cos \theta} = h$

$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cdot l = h$

$\tan \theta = \frac{h}{l}$

3. 最終的な答え

(2) $\vec{R}(t) = l \vec{e}_x + (h - \frac{1}{2} g t^2) \vec{e}_y$

(3) $t_l = \frac{l}{v_0 \cos \theta}$

(4) $\tan \theta = \frac{h}{l}$