与えられた3つの式を計算する問題です。 (1) $(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2$ (2) $(\sqrt{7} + \sqrt{2})(\sqrt{7} - \sqrt{2})$ (3) $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式を計算する問題です。

(1) $(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2$

(2) $(\sqrt{7} + \sqrt{2})(\sqrt{7} - \sqrt{2})$

(3) $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

(1) $(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2$ の計算

二項の和の平方の公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を使います。

$(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(\sqrt{5}) + (\sqrt{5})^2$

$= 3 + 2\sqrt{15} + 5$

$= 8 + 2\sqrt{15}$

(2) $(\sqrt{7} + \sqrt{2})(\sqrt{7} - \sqrt{2})$ の計算

和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を使います。

$(\sqrt{7} + \sqrt{2})(\sqrt{7} - \sqrt{2}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2$

$= 7 - 2$

$= 5$

(3) $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}$ の計算

分母を有理化します。分母の共役な式 $(\sqrt{7} + \sqrt{2})$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{(\sqrt{7} - \sqrt{2})(\sqrt{7} + \sqrt{2})}$

$= \frac{3\sqrt{2}(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2}$

$= \frac{3\sqrt{14} + 3(2)}{7 - 2}$

$= \frac{3\sqrt{14} + 6}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $8 + 2\sqrt{15}$

(2) $5$

(3) $\frac{3\sqrt{14} + 6}{5}$