$I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$ が与えられたとき、以下の問題を解く。 1. (i) $\lim_{x \to 0+} x \log x$ (ii) $\lim_{x \to 0+} x (\log x)^2$ (iii) $\lim_{x \to 0+} x (\log x)^n$ を求めよ。

1. 問題の内容

$I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$ が与えられたとき、以下の問題を解く。

1. (i) $\lim_{x \to 0+} x \log x$ (ii) $\lim_{x \to 0+} x (\log x)^2$ (iii) $\lim_{x \to 0+} x (\log x)^n$ を求めよ。

2. $I_{n+1} = -(n+1)I_n$ を示せ。

3. $I_0, I_1, I_2$ を求めよ。

4. $I_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

1. (i) $\lim_{x \to 0+} x \log x$ を求める。

$x = e^{-t}$ とおくと、$x \to 0+$ のとき $t \to \infty$ となる。よって、

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\lim_{x \to 0+} x \log x = \lim_{t \to \infty} e^{-t} \log(e^{-t}) = \lim_{t \to \infty} -te^{-t} = -\lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^t}

$$$$

ここで、ロピタルの定理を用いると、

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-\lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^t} = -\lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^t} = 0

$$$$

(ii) $\lim_{x \to 0+} x (\log x)^2$ を求める。

同様に、$x = e^{-t}$ とおくと、$x \to 0+$ のとき $t \to \infty$ となる。よって、

$$$$

\lim_{x \to 0+} x (\log x)^2 = \lim_{t \to \infty} e^{-t} (\log(e^{-t}))^2 = \lim_{t \to \infty} e^{-t} (-t)^2 = \lim_{t \to \infty} \frac{t^2}{e^t}

$$$$

ここで、ロピタルの定理を2回用いると、

$$$$

\lim_{t \to \infty} \frac{t^2}{e^t} = \lim_{t \to \infty} \frac{2t}{e^t} = \lim_{t \to \infty} \frac{2}{e^t} = 0

$$$$

(iii) $\lim_{x \to 0+} x (\log x)^n$ を求める。

同様に、$x = e^{-t}$ とおくと、$x \to 0+$ のとき $t \to \infty$ となる。よって、

$$$$

\lim_{x \to 0+} x (\log x)^n = \lim_{t \to \infty} e^{-t} (\log(e^{-t}))^n = \lim_{t \to \infty} e^{-t} (-t)^n = (-1)^n \lim_{t \to \infty} \frac{t^n}{e^t}

$$$$

ここで、ロピタルの定理を $n$ 回用いると、

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(-1)^n\lim_{t \to \infty} \frac{t^n}{e^t} = (-1)^n\lim_{t \to \infty} \frac{n!}{e^t} = 0

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したがって、数学的帰納法より $\lim_{x \to 0+} x (\log x)^n = 0$

2. $I_{n+1} = \int_0^1 (\log x)^{n+1} dx$ に対して、部分積分を行う。

$u = (\log x)^{n+1}$, $dv = dx$ とおくと、$du = (n+1)(\log x)^n \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となる。よって、

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I_{n+1} = \int_0^1 (\log x)^{n+1} dx = \left[ x (\log x)^{n+1} \right]_0^1 - \int_0^1 x (n+1)(\log x)^n \frac{1}{x} dx

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= \left[ x (\log x)^{n+1} \right]_0^1 - (n+1) \int_0^1 (\log x)^n dx = \left[ x (\log x)^{n+1} \right]_0^1 - (n+1) I_n

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ここで、$\lim_{x \to 0+} x (\log x)^{n+1} = 0$ より、

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I_{n+1} = (1 \cdot (\log 1)^{n+1} - \lim_{x \to 0+} x (\log x)^{n+1}) - (n+1)I_n = (0 - 0) - (n+1)I_n = -(n+1) I_n

$$$$

したがって、$I_{n+1} = -(n+1) I_n$

3. $I_0, I_1, I_2$ を求める。

$I_0 = \int_0^1 (\log x)^0 dx = \int_0^1 1 dx = [x]_0^1 = 1-0 = 1$

$I_1 = \int_0^1 \log x dx = \int_0^1 (\log x) \cdot 1 dx$ とおき、$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となるので、

$I_1 = [x \log x]_0^1 - \int_0^1 x \cdot \frac{1}{x} dx = (1 \cdot \log 1 - \lim_{x \to 0+} x \log x) - \int_0^1 1 dx = (0 - 0) - [x]_0^1 = -1$

$I_2 = -(2-1+1)I_1 = -2I_1 = -2(-1) = 2$

4. $I_n$ を求める。

$I_{n+1} = -(n+1)I_n$ を繰り返し用いると、

$I_n = -n I_{n-1} = (-n)(-(n-1))I_{n-2} = \dots = (-1)^n n! I_0$

$I_0 = 1$ なので、$I_n = (-1)^n n!$

3. 最終的な答え

1. (i) $\lim_{x \to 0+} x \log x = 0$ (ii) $\lim_{x \to 0+} x (\log x)^2 = 0$ (iii) $\lim_{x \to 0+} x (\log x)^n = 0$

2. $I_{n+1} = -(n+1) I_n$

3. $I_0 = 1$, $I_1 = -1$, $I_2 = 2$

4. $I_n = (-1)^n n!$