(1) $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$ を計算し、分母を有理化してください。 (2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ を計算し、分母を有理化してください。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

(1) $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$ を計算し、分母を有理化してください。

(2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ を計算し、分母を有理化してください。

2. 解き方の手順

(1) 分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $\sqrt{7} - \sqrt{3}$ を分子と分母にかけます。

$\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$

$= \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2}$

$= \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{7 - 3}$

$= \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{4}$

(2) 分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ を分子と分母にかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

$= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}$

$= \frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{5 - 3}$

$= \frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{4}$

(2) $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{2}$