$I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$と定義するとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $\lim_{x \to 0+} x \log x$, $\lim_{x \to 0+} x (\log x)^2$, $\lim_{x \to 0+} x (\log x)^n$ を求めよ。ただし、(iii)は極限を予想して数学的帰納法で示す。 (2) $I_{n+1} = -(n+1)I_n$を示せ。 (3) $I_0, I_1, I_2$を求めよ。必要ならば(2)の結果を用いても良い。 (4) $I_n$を求めよ。数学的帰納法は省略して良い。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$と定義するとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $\lim_{x \to 0+} x \log x$, $\lim_{x \to 0+} x (\log x)^2$, $\lim_{x \to 0+} x (\log x)^n$ を求めよ。ただし、(iii)は極限を予想して数学的帰納法で示す。

(2) $I_{n+1} = -(n+1)I_n$を示せ。

(3) $I_0, I_1, I_2$を求めよ。必要ならば(2)の結果を用いても良い。

(4) $I_n$を求めよ。数学的帰納法は省略して良い。

2. 解き方の手順

(1)

(i) $\lim_{x \to 0+} x \log x$

$x = e^{-t}$とおくと、$x \to 0+$のとき、$t \to \infty$である。

$\lim_{x \to 0+} x \log x = \lim_{t \to \infty} e^{-t} \log(e^{-t}) = \lim_{t \to \infty} -te^{-t} = -\lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^t}$

ここでロピタルの定理を用いると、

$-\lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^t} = -\lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^t} = 0$

(ii) $\lim_{x \to 0+} x (\log x)^2$

$x = e^{-t}$とおくと、$x \to 0+$のとき、$t \to \infty$である。

$\lim_{x \to 0+} x (\log x)^2 = \lim_{t \to \infty} e^{-t} (\log(e^{-t}))^2 = \lim_{t \to \infty} t^2e^{-t} = \lim_{t \to \infty} \frac{t^2}{e^t}$

ここでロピタルの定理を用いると、

$\lim_{t \to \infty} \frac{t^2}{e^t} = \lim_{t \to \infty} \frac{2t}{e^t} = \lim_{t \to \infty} \frac{2}{e^t} = 0$

(iii) $\lim_{x \to 0+} x (\log x)^n$

$x = e^{-t}$とおくと、$x \to 0+$のとき、$t \to \infty$である。

$\lim_{x \to 0+} x (\log x)^n = \lim_{t \to \infty} e^{-t} (\log(e^{-t}))^n = \lim_{t \to \infty} (-1)^n t^n e^{-t} = (-1)^n \lim_{t \to \infty} \frac{t^n}{e^t}$

ここでロピタルの定理をn回用いると、

$(-1)^n \lim_{t \to \infty} \frac{t^n}{e^t} = (-1)^n \lim_{t \to \infty} \frac{n!}{e^t} = 0$

したがって、

$\lim_{x \to 0+} x (\log x)^n = 0$

(数学的帰納法による証明)

n=1のとき、(i)より成り立つ。

n=kのとき、$\lim_{x \to 0+} x (\log x)^k = 0$が成り立つと仮定する。

$\lim_{x \to 0+} x (\log x)^{k+1} = \lim_{x \to 0+} (\log x) \cdot x (\log x)^k = \lim_{x \to 0+} (\log x) \cdot 0$

ここで、$\lim_{x \to 0+} \log x = -\infty$ であるが、ロピタルの定理を用いて

$\lim_{x \to 0+} x (\log x)^{k+1} = \lim_{x \to 0+} \frac{(\log x)^{k+1}}{1/x}$

$\lim_{x \to 0+} \frac{(k+1) (\log x)^k (1/x)}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0+} -(k+1)x (\log x)^k = -(k+1) \lim_{x \to 0+} x (\log x)^k = -(k+1) \cdot 0 = 0$

よって、n=k+1のときも成り立つ。

したがって、数学的帰納法により、$\lim_{x \to 0+} x (\log x)^n = 0$が示された。

(2) $I_{n+1} = \int_0^1 (\log x)^{n+1} dx$

部分積分を行う。$u = (\log x)^{n+1}, dv = dx$とすると、$du = (n+1) (\log x)^n (1/x) dx, v = x$

$I_{n+1} = \int_0^1 (\log x)^{n+1} dx = [x(\log x)^{n+1}]_0^1 - \int_0^1 x (n+1) (\log x)^n (1/x) dx = [x(\log x)^{n+1}]_0^1 - (n+1) \int_0^1 (\log x)^n dx$

ここで、$\lim_{x \to 0+} x(\log x)^{n+1} = 0$より、$x=0$での値は0となる。$x=1$のとき、$(\log 1)^{n+1} = 0$より、$x=1$での値も0となる。

よって、$I_{n+1} = 0 - (n+1) \int_0^1 (\log x)^n dx = -(n+1)I_n$

(3)

$I_0 = \int_0^1 (\log x)^0 dx = \int_0^1 1 dx = [x]_0^1 = 1$

$I_1 = \int_0^1 \log x dx$

部分積分を行う。$u = \log x, dv = dx$とすると、$du = (1/x) dx, v = x$

$I_1 = [x \log x]_0^1 - \int_0^1 x (1/x) dx = [x \log x]_0^1 - \int_0^1 1 dx = (1 \cdot \log 1 - \lim_{x \to 0+} x \log x) - [x]_0^1 = (0 - 0) - (1-0) = -1$

$I_2 = \int_0^1 (\log x)^2 dx$

(2)の結果より、$I_2 = -(2+1-1) I_1 = -2 I_1 = -2 (-1) = 2$

(4)

$I_{n+1} = -(n+1) I_n$より、

$I_n = -n I_{n-1} = (-n) \cdot (-(n-1) I_{n-2}) = (-1)^2 n (n-1) I_{n-2} = ... = (-1)^n n! I_0 = (-1)^n n! \cdot 1 = (-1)^n n!$

よって、$I_n = (-1)^n n!$

3. 最終的な答え

(1)

(i) $\lim_{x \to 0+} x \log x = 0$

(ii) $\lim_{x \to 0+} x (\log x)^2 = 0$

(iii) $\lim_{x \to 0+} x (\log x)^n = 0$

(2) $I_{n+1} = -(n+1)I_n$

(3) $I_0 = 1, I_1 = -1, I_2 = 2$

(4) $I_n = (-1)^n n!$