与えられた2つの分数の分母を有理化する問題です。 (3) $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{7}-2}$ (4) $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$

1. 問題の内容

与えられた2つの分数の分母を有理化する問題です。

(3) $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{7}-2}$

(4) $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$

2. 解き方の手順

(3) 分母を有理化するために、分母の共役な式 ($\sqrt{7}+2$) を分子と分母に掛けます。

$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{7}-2} = \frac{3\sqrt{2}(\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)}$

$= \frac{3\sqrt{14}+6\sqrt{2}}{7-4}$

$= \frac{3\sqrt{14}+6\sqrt{2}}{3}$

$= \sqrt{14}+2\sqrt{2}$

(4) 分母を有理化するために、分母の共役な式 ($\sqrt{2}+1$) を分子と分母に掛けます。

$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}$

$= \frac{2+2\sqrt{2}+1}{2-1}$

$= \frac{3+2\sqrt{2}}{1}$

$= 3+2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(3) $\sqrt{14}+2\sqrt{2}$

(4) $3+2\sqrt{2}$