$0 \le t \le \pi$ とする。点P, Qがそれぞれ $P(4\cos t + 3, 2\cos t \cos 2t - 2)$, $Q(-2\cos t - 1, -2\sin t \sin 2t)$ で与えられる。線分PQの中点をRとする。 (1) 線分PQの長さの最小値と、そのときの $t$ の値を求めよ。 (2) 点Rの座標を $(X, Y)$ とおくとき、$Y$ を $X$ の式で表せ。また、$X$ のとりうる値の範囲を求めよ。 (3) Cとx軸とで囲まれる部分の面積Sを求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le t \le \pi$ とする。点P, Qがそれぞれ $P(4\cos t + 3, 2\cos t \cos 2t - 2)$, $Q(-2\cos t - 1, -2\sin t \sin 2t)$ で与えられる。線分PQの中点をRとする。

(1) 線分PQの長さの最小値と、そのときの $t$ の値を求めよ。

(2) 点Rの座標を $(X, Y)$ とおくとき、$Y$ を $X$ の式で表せ。また、$X$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(3) Cとx軸とで囲まれる部分の面積Sを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分PQの長さを求める。

$PQ = \sqrt{(4\cos t + 3 - (-2\cos t - 1))^2 + (2\cos t \cos 2t - 2 - (-2\sin t \sin 2t))^2}$

$PQ = \sqrt{(6\cos t + 4)^2 + (2(\cos t \cos 2t + \sin t \sin 2t) - 2)^2}$

$PQ = \sqrt{(6\cos t + 4)^2 + (2\cos(2t-t) - 2)^2}$

$PQ = \sqrt{(6\cos t + 4)^2 + (2\cos t - 2)^2}$

$PQ = \sqrt{36\cos^2 t + 48\cos t + 16 + 4\cos^2 t - 8\cos t + 4}$

$PQ = \sqrt{40\cos^2 t + 40\cos t + 20}$

$PQ = \sqrt{40(\cos^2 t + \cos t) + 20}$

$PQ = \sqrt{40(\cos t + \frac{1}{2})^2 - 40(\frac{1}{4}) + 20}$

$PQ = \sqrt{40(\cos t + \frac{1}{2})^2 + 10}$

$0 \le t \le \pi$ なので、$-1 \le \cos t \le 1$ である。

$-\frac{1}{2} \le \cos t + \frac{1}{2} \le \frac{3}{2}$

$0 \le (\cos t + \frac{1}{2})^2 \le \frac{9}{4}$

$PQ$ が最小となるのは $\cos t = -\frac{1}{2}$ のときである。このとき、$PQ = \sqrt{10}$ であり、$t = \frac{2\pi}{3}$ である。

(2) 点Rの座標を求める。

$X = \frac{(4\cos t + 3) + (-2\cos t - 1)}{2} = \frac{2\cos t + 2}{2} = \cos t + 1$

$Y = \frac{(2\cos t \cos 2t - 2) + (-2\sin t \sin 2t)}{2} = \frac{2(\cos t \cos 2t - \sin t \sin 2t) - 2}{2} = \frac{2\cos(t+2t) - 2}{2} = \cos 3t - 1$

$X = \cos t + 1$ より $\cos t = X - 1$

$Y = \cos 3t - 1 = 4\cos^3 t - 3\cos t - 1 = 4(X-1)^3 - 3(X-1) - 1 = 4(X^3 - 3X^2 + 3X - 1) - 3X + 3 - 1 = 4X^3 - 12X^2 + 12X - 4 - 3X + 2 = 4X^3 - 12X^2 + 9X - 2$

$-1 \le \cos t \le 1$ なので、$0 \le X \le 2$

(3) $Y = 4X^3 - 12X^2 + 9X - 2$ と x軸で囲まれる面積Sを求める。

$Y = 0$ となるのは $4X^3 - 12X^2 + 9X - 2 = 0$

$(X-2)(4X^2 - 4X + 1) = 0$

$(X-2)(2X-1)^2 = 0$

$X = 2, \frac{1}{2}$

$S = \int_{1/2}^{2} |4X^3 - 12X^2 + 9X - 2|dX = \int_{1/2}^{2} (12X^2 - 4X^3 - 9X + 2)dX$

$= [4X^3 - X^4 - \frac{9}{2}X^2 + 2X]_{1/2}^{2} = (32 - 16 - 18 + 4) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{16} - \frac{9}{8} + 1) = 2 - (\frac{8-1-18+16}{16}) = 2 - \frac{5}{16} = \frac{32-5}{16} = \frac{27}{16}$

3. 最終的な答え

(1) PQの長さの最小値: $\sqrt{10}$, そのときの $t$ の値: $t = \frac{2\pi}{3}$

(2) $Y = 4X^3 - 12X^2 + 9X - 2$, $0 \le X \le 2$

(3) $S = \frac{27}{16}$