与えられた積分 $\int \frac{x}{(1+x)\sqrt{x^2-x+1}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分

$\int \frac{x}{(1+x)\sqrt{x^2-x+1}} dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分変数の変換を行います。

$x = \frac{1}{t}$ と置換すると、$dx = -\frac{1}{t^2}dt$ となります。

この置換を積分に適用すると、

$\int \frac{x}{(1+x)\sqrt{x^2-x+1}} dx = \int \frac{\frac{1}{t}}{(1+\frac{1}{t})\sqrt{\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t}+1}} (-\frac{1}{t^2}) dt$

$= \int \frac{\frac{1}{t}}{\frac{t+1}{t}\sqrt{\frac{1-t+t^2}{t^2}}} (-\frac{1}{t^2}) dt$

$= \int \frac{1}{t+1}\frac{t}{\sqrt{1-t+t^2}} (-\frac{1}{t^2}) dt$

$= -\int \frac{1}{t(t+1)\sqrt{t^2-t+1}} dt$

次に、$\frac{1}{t(t+1)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}$ を用いると、

$I = -\int (\frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}) \frac{1}{\sqrt{t^2-t+1}} dt$

$= \int \frac{1}{t+1} \frac{1}{\sqrt{t^2-t+1}} dt - \int \frac{1}{t} \frac{1}{\sqrt{t^2-t+1}} dt$

さらに、$u=t-1/2$と置換すると、$t^2-t+1=(t-1/2)^2 +3/4 = u^2 +3/4$となります。

ここで、$t = \frac{1}{x}$ を代入することを考えると、

$\int \frac{1}{x} \frac{1}{\sqrt{x^2-x+1}} dx$という形をうまく使うことを検討します。

$t = x$とおいて、$I = \int \frac{x}{(1+x)\sqrt{x^2-x+1}} dx$　を考えます。

$x^2 - x + 1 = (x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$

$I = \int \frac{x}{(1+x)\sqrt{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}}dx$.

ここで、$x-\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\tan\theta$とおくと、$x = \frac{\sqrt{3}}{2}\tan\theta + \frac{1}{2}$, $dx = \frac{\sqrt{3}}{2}\sec^2\theta d\theta$となる。

$\sqrt{x^2-x+1} = \sqrt{\frac{3}{4}\tan^2\theta + \frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sec\theta$

この結果より、$I = 2\arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}})-\ln(1+x)+C$となる。

$I = \int \frac{x}{(1+x)\sqrt{x^2-x+1}} dx$において、$x=\frac{1}{t}$とおくと、$dx=-\frac{1}{t^2}dt$

$I=\int \frac{1/t}{(1+1/t)\sqrt{1/t^2-1/t+1}}(-\frac{1}{t^2})dt = -\int\frac{1}{t(t+1)\sqrt{t^2-t+1}}dt=-\int(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1})\frac{1}{\sqrt{t^2-t+1}}dt$

$=-\int\frac{1}{t\sqrt{t^2-t+1}}dt+\int\frac{1}{(t+1)\sqrt{t^2-t+1}}dt$

3. 最終的な答え

答えは、

$2\arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}})-\ln|x+1| + C$

です。