$0 \le t \le \pi$ とする。点P, Qがそれぞれ $P(4\cos t+3, 2\cos t\cos 2t-2)$, $Q(-2\cos t-1, -2\sin t\sin 2t)$ で与えられ、線分PQの中点をRとする。点Rの軌跡をCとおくとき、以下の問いに答える。 (1) 線分PQの長さの最小値と、そのときのtの値を求めよ。 (2) 点Rの座標を(X, Y)とするとき、YをXの式で表せ。また、Xのとりうる値の範囲を求めよ。 (3) Cとx軸とで囲まれる部分の面積Sを求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le t \le \pi$ とする。点P, Qがそれぞれ $P(4\cos t+3, 2\cos t\cos 2t-2)$, $Q(-2\cos t-1, -2\sin t\sin 2t)$ で与えられ、線分PQの中点をRとする。点Rの軌跡をCとおくとき、以下の問いに答える。

(1) 線分PQの長さの最小値と、そのときのtの値を求めよ。

(2) 点Rの座標を(X, Y)とするとき、YをXの式で表せ。また、Xのとりうる値の範囲を求めよ。

(3) Cとx軸とで囲まれる部分の面積Sを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

線分PQの長さをLとすると、

$L^2 = (4\cos t + 3 - (-2\cos t - 1))^2 + (2\cos t\cos 2t - 2 - (-2\sin t\sin 2t))^2$

$= (6\cos t + 4)^2 + (2\cos t\cos 2t + 2\sin t\sin 2t - 2)^2$

$= (6\cos t + 4)^2 + (2\cos(2t-t) - 2)^2$

$= (6\cos t + 4)^2 + (2\cos t - 2)^2$

$= 36\cos^2 t + 48\cos t + 16 + 4\cos^2 t - 8\cos t + 4$

$= 40\cos^2 t + 40\cos t + 20$

$= 40(\cos^2 t + \cos t) + 20$

$= 40(\cos t + \frac{1}{2})^2 - 40(\frac{1}{4}) + 20$

$= 40(\cos t + \frac{1}{2})^2 - 10 + 20$

$= 40(\cos t + \frac{1}{2})^2 + 10$

$0 \le t \le \pi$ より $-1 \le \cos t \le 1$。

よって、$\cos t = -\frac{1}{2}$のとき、$L^2$は最小値10をとる。

$L = \sqrt{10}$

$\cos t = -\frac{1}{2}$より、$t = \frac{2}{3}\pi$

(2)

点Rの座標を(X, Y)とすると、

$X = \frac{(4\cos t + 3) + (-2\cos t - 1)}{2} = \frac{2\cos t + 2}{2} = \cos t + 1$

$Y = \frac{(2\cos t\cos 2t - 2) + (-2\sin t\sin 2t)}{2} = \frac{2\cos(2t+t)-2}{2} = \cos 3t - 1$

$X = \cos t + 1$ より、$\cos t = X - 1$

$0 \le t \le \pi$ より $-1 \le \cos t \le 1$。

$-1 \le X - 1 \le 1$ より $0 \le X \le 2$

$\cos 3t = 4\cos^3 t - 3\cos t$

$Y = 4\cos^3 t - 3\cos t - 1 = 4(X-1)^3 - 3(X-1) - 1 = 4(X^3 - 3X^2 + 3X - 1) - 3X + 3 - 1 = 4X^3 - 12X^2 + 12X - 4 - 3X + 2 = 4X^3 - 12X^2 + 9X - 2$

$Y = 4X^3 - 12X^2 + 9X - 2$ ( $0 \le X \le 2$)

(3)

$Y = 4X^3 - 12X^2 + 9X - 2$ と $y=0$ の交点を求める。

$4X^3 - 12X^2 + 9X - 2 = 0$

$(X - 2)(4X^2 - 4X + 1) = 0$

$(X - 2)(2X - 1)^2 = 0$

$X = 2, \frac{1}{2}$

面積Sは

$S = \int_{\frac{1}{2}}^{2} |4X^3 - 12X^2 + 9X - 2| dx = \int_{\frac{1}{2}}^{2} (4X^3 - 12X^2 + 9X - 2) dx$

$= [X^4 - 4X^3 + \frac{9}{2}X^2 - 2X]_{\frac{1}{2}}^{2}$

$= (16 - 32 + 18 - 4) - (\frac{1}{16} - \frac{4}{8} + \frac{9}{8} - 1)$

$= -2 - (\frac{1}{16} - \frac{8}{16} + \frac{18}{16} - \frac{16}{16}) = -2 - (-\frac{5}{16}) = -2 + \frac{5}{16} = -\frac{27}{16}$

したがって、$S = |\frac{-27}{16}| = \frac{27}{16}$

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $\sqrt{10}$, $t = \frac{2}{3}\pi$

(2) $Y = 4X^3 - 12X^2 + 9X - 2$, $0 \le X \le 2$

(3) $S = \frac{27}{16}$