次の3つの放物線の方程式について、グラフを描くために必要な情報を求めます。具体的には、それぞれの頂点の座標を求め、グラフの向き（上に開くか、下に開くか）を判断します。 (1) $y = x^2 - 4$ (2) $y = -x^2 + 4x$ (3) $y = 2x^2 - 2x + 1$

1. 問題の内容

次の3つの放物線の方程式について、グラフを描くために必要な情報を求めます。具体的には、それぞれの頂点の座標を求め、グラフの向き（上に開くか、下に開くか）を判断します。

(1) $y = x^2 - 4$

(2) $y = -x^2 + 4x$

(3) $y = 2x^2 - 2x + 1$

2. 解き方の手順

放物線の方程式を平方完成し、頂点の座標を求めます。$x^2$ の係数が正であればグラフは上に開き、負であればグラフは下に開きます。

(1) $y = x^2 - 4$

すでに平方完成された形になっています。

$y = (x - 0)^2 - 4$

頂点の座標は $(0, -4)$。$x^2$ の係数は $1$ で正なので、グラフは上に開きます。

(2) $y = -x^2 + 4x$

$y = -(x^2 - 4x)$

$y = -(x^2 - 4x + 4 - 4)$

$y = -((x - 2)^2 - 4)$

$y = -(x - 2)^2 + 4$

頂点の座標は $(2, 4)$。$x^2$ の係数は $-1$ で負なので、グラフは下に開きます。

(3) $y = 2x^2 - 2x + 1$

$y = 2(x^2 - x) + 1$

$y = 2(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 1$

$y = 2((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) + 1$

$y = 2(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 1$

$y = 2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}$

頂点の座標は $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$。$x^2$ の係数は $2$ で正なので、グラフは上に開きます。

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 - 4$: 頂点 $(0, -4)$、上に開く

(2) $y = -x^2 + 4x$: 頂点 $(2, 4)$、下に開く

(3) $y = 2x^2 - 2x + 1$: 頂点 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$、上に開く