$a$ を正の定数とする。関数 $f(x) = x^3 - 6ax^2 + 9a^2x$ の $0 \le x \le 2$ における最大値を求める。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とする。関数 $f(x) = x^3 - 6ax^2 + 9a^2x$ の $0 \le x \le 2$ における最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分して、極値を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 12ax + 9a^2 = 3(x^2 - 4ax + 3a^2) = 3(x-a)(x-3a)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = a$ または $x = 3a$ のときです。

次に、$0 \le x \le 2$ の範囲で、$f(x)$ の最大値を求めます。$a$ の値によって場合分けが必要です。

(i) $0 < a \le \frac{2}{3}$ のとき：

$0 < a < 3a \le 2$ が成り立つ。

$f(0) = 0$

$f(a) = a^3 - 6a^3 + 9a^3 = 4a^3$

$f(2) = 8 - 24a + 18a^2$

$f(2) - f(a) = 8 - 24a + 18a^2 - 4a^3 = -4a^3 + 18a^2 - 24a + 8$

$g(a) = -4a^3 + 18a^2 - 24a + 8$ とすると, $g'(a) = -12a^2 + 36a - 24 = -12(a^2 - 3a + 2) = -12(a-1)(a-2)$.

したがって、$0 < a < \frac{2}{3}$ の範囲では$g'(a) < 0$ なので、$g(a)$ は単調減少. $g(0) = 8 > 0$.

$g(\frac{2}{3}) = -4\frac{8}{27} + 18\frac{4}{9} - 24\frac{2}{3} + 8 = -\frac{32}{27} + 8 - 16 + 8 = -\frac{32}{27} < 0$

$f(2) = 8-24a+18a^2$

$f(a) = 4a^3$

$g(a) = 8-24a+18a^2-4a^3$

$a = \frac{2}{3}$ のとき

$f(a) = 4(\frac{2}{3})^3 = \frac{32}{27}$

$f(2) = 8 - 24(\frac{2}{3}) + 18(\frac{4}{9}) = 8 - 16 + 8 = 0$

したがって, $x = a$ で最大となる. 最大値 $4a^3$.

(ii) $\frac{2}{3} < a \le 2$ のとき:

$f(0) = 0$

$f(a) = 4a^3$

$f(2) = 8 - 24a + 18a^2$

$f'(2) = -24 + 36a$.

$f(2) - f(a) = -4a^3 + 18a^2 - 24a + 8$

$g(a) = -4a^3 + 18a^2 - 24a + 8$

$g'(a) = -12a^2 + 36a - 24 = -12(a-1)(a-2)$

$\frac{2}{3} < a \le 2$ での $g(a)$ の符号を調べる

$1 < a < 2$ のとき, $g'(a) > 0$, $a=1$ で最小値を取る。

$a=2$ のとき, $g'(a) = 0$

$f(2)$の最大値は$x=a$で最大となるので$4a^3$.

(iii) $a > 2$ のとき:

$0 < 2 < a < 3a$. よって、$0 \le x \le 2$ の範囲では $x = a, x = 3a$ は考えなくてよい。

$f(0) = 0$

$f(2) = 8 - 24a + 18a^2$

$f'(x) = 3x^2 - 12ax + 9a^2$

$f'(x) > 0 \iff x < a \text{ or } x > 3a$

$f'(x) < 0 \iff a < x < 3a$

よって $x \in [0, 2]$ で $f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は単調増加である。

したがって、$x = 2$ で最大値をとる。最大値 $8 - 24a + 18a^2$.

まとめる

(i) $0 < a \le \frac{2}{3}$のとき, 最大値 $4a^3$

(ii) $\frac{2}{3} < a \le 2$のとき, 最大値 $4a^3$

(iii) $a > 2$のとき, 最大値 $8 - 24a + 18a^2$

まとめると

$0< a \le 2$ ならば、$4a^3$

$a>2$ ならば、$18a^2 - 24a + 8$

3. 最終的な答え

$0< a \le 2$ のとき、最大値 $4a^3$

$a>2$ のとき、最大値 $18a^2 - 24a + 8$