次の広義積分を計算する問題です。 (1) $\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2-4} dx$ (2) $\int_{1}^{3} \frac{1}{\sqrt{|x(x-2)|}} dx$ (3) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x(1+x^2)} dx$ (4) $\int_{-\infty}^{0} e^x \sin 2x dx$

1. 問題の内容

次の広義積分を計算する問題です。

(1) $\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2-4} dx$

(2) $\int_{1}^{3} \frac{1}{\sqrt{|x(x-2)|}} dx$

(3) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x(1+x^2)} dx$

(4) $\int_{-\infty}^{0} e^x \sin 2x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2-4} dx$

被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{1}{x^2-4} = \frac{1}{(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}$

$1 = A(x+2) + B(x-2)$

$x=2$ のとき $1 = 4A$ より $A = \frac{1}{4}$

$x=-2$ のとき $1 = -4B$ より $B = -\frac{1}{4}$

よって、

$\frac{1}{x^2-4} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} \right)$

$\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2-4} dx = \frac{1}{4} \int_{2}^{3} \left( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} \right) dx$

$= \frac{1}{4} \left[ \ln |x-2| - \ln |x+2| \right]_{2}^{3}$

$= \frac{1}{4} \left[ \ln \left| \frac{x-2}{x+2} \right| \right]_{2}^{3}$

$= \frac{1}{4} \left( \ln \frac{1}{5} - \lim_{x \to 2+0} \ln \frac{x-2}{x+2} \right)$

$= \frac{1}{4} ( \ln \frac{1}{5} - (-\infty))$

これは発散します。

(2) $\int_{1}^{3} \frac{1}{\sqrt{|x(x-2)|}} dx$

積分範囲は $[1,3]$ なので、$x(x-2)$ は $x=2$ で符号が変わります。

$\int_{1}^{3} \frac{1}{\sqrt{|x(x-2)|}} dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{x(2-x)}} dx + \int_{2}^{3} \frac{1}{\sqrt{x(x-2)}} dx$

$I_1 = \int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{x(2-x)}} dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{1-(x-1)^2}} dx$

$x-1 = \sin \theta$ と置換すると、 $dx = \cos \theta d\theta$

$x=1$ のとき $\sin \theta = 0$ より $\theta = 0$

$x=2$ のとき $\sin \theta = 1$ より $\theta = \frac{\pi}{2}$

$I_1 = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 \theta}} \cos \theta d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos \theta}{\cos \theta} d\theta = \int_{0}^{\pi/2} 1 d\theta = \left[ \theta \right]_{0}^{\pi/2} = \frac{\pi}{2}$

$I_2 = \int_{2}^{3} \frac{1}{\sqrt{x(x-2)}} dx = \int_{2}^{3} \frac{1}{\sqrt{(x-1)^2 - 1}} dx$

$x-1 = \cosh u$ と置換すると、 $dx = \sinh u du$

$x=2$ のとき $\cosh u = 1$ より $u = 0$

$x=3$ のとき $\cosh u = 2$ より $u = \cosh^{-1} 2 = \ln (2 + \sqrt{3})$

$I_2 = \int_{0}^{\ln (2+\sqrt{3})} \frac{1}{\sqrt{\cosh^2 u - 1}} \sinh u du = \int_{0}^{\ln (2+\sqrt{3})} \frac{\sinh u}{\sinh u} du = \int_{0}^{\ln (2+\sqrt{3})} 1 du = \left[ u \right]_{0}^{\ln (2+\sqrt{3})} = \ln (2+\sqrt{3})$

$\int_{1}^{3} \frac{1}{\sqrt{|x(x-2)|}} dx = \frac{\pi}{2} + \ln (2+\sqrt{3})$

(3) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x(1+x^2)} dx$

部分分数分解します。

$\frac{1}{x(1+x^2)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{1+x^2}$

$1 = A(1+x^2) + (Bx+C)x = A+Ax^2 + Bx^2 + Cx = (A+B)x^2 + Cx + A$

$A+B=0$, $C=0$, $A=1$

$A=1, B=-1, C=0$

$\frac{1}{x(1+x^2)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^2}$

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x(1+x^2)} dx = \int_{1}^{\infty} \left( \frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^2} \right) dx = \left[ \ln |x| - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) \right]_{1}^{\infty}$

$= \left[ \ln \left| \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right| \right]_{1}^{\infty}$

$= \lim_{x \to \infty} \ln \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} - \ln \frac{1}{\sqrt{2}} = \ln 1 - \ln \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 - (-\frac{1}{2} \ln 2) = \frac{1}{2} \ln 2 = \ln \sqrt{2}$

(4) $\int_{-\infty}^{0} e^x \sin 2x dx$

部分積分を2回行います。

$I = \int_{-\infty}^{0} e^x \sin 2x dx$

$u=\sin 2x, dv = e^x dx \implies du=2\cos 2x dx, v=e^x$

$I = \left[ e^x \sin 2x \right]_{-\infty}^{0} - \int_{-\infty}^{0} 2e^x \cos 2x dx$

$= 0 - 2 \int_{-\infty}^{0} e^x \cos 2x dx$

$u = \cos 2x, dv = e^x dx \implies du = -2 \sin 2x dx, v = e^x$

$I = -2 \left( \left[ e^x \cos 2x \right]_{-\infty}^{0} + \int_{-\infty}^{0} 2e^x \sin 2x dx \right)$

$= -2 \left( 1 + 2 \int_{-\infty}^{0} e^x \sin 2x dx \right)$

$I = -2 - 4I$

$5I = -2$

$I = -\frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

(1) 発散

(2) $\frac{\pi}{2} + \ln (2+\sqrt{3})$

(3) $\frac{1}{2} \ln 2 = \ln \sqrt{2}$

(4) $-\frac{2}{5}$