集合 $A$ と $B$ が与えられています。 $A = \{x | -1 \le x < 5\}$ $B = \{x | -3 < x \le 4\}$ $C = \overline{A} \cup B$ とするとき、$A \cap C$ と $A \cup C$ を求める問題です。ただし、$\overline{A}$ は $A$ の補集合を表します。

1. 問題の内容

集合 $A$ と $B$ が与えられています。

$A = \{x | -1 \le x < 5\}$

$B = \{x | -3 < x \le 4\}$

$C = \overline{A} \cup B$ とするとき、$A \cap C$ と $A \cup C$ を求める問題です。ただし、$\overline{A}$ は $A$ の補集合を表します。

2. 解き方の手順

まず、$C = \overline{A} \cup B$ を求めます。

$\overline{A}$ は $A$ の補集合なので、$A$ に含まれない実数全体の集合です。

$A = \{x | -1 \le x < 5\}$ であるから、

$\overline{A} = \{x | x < -1 \text{ or } x \ge 5\}$

$C = \overline{A} \cup B$ なので、$\overline{A}$ と $B$ の和集合を考えます。

$B = \{x | -3 < x \le 4\}$ であるから、

$C = \{x | x < -1 \text{ or } x \ge 5\} \cup \{x | -3 < x \le 4\} = \{x | x \le 4 \text{ or } x \ge 5\} \cup \{x | -3 < x < -1\}$

$C = \{ x | x > -3, x \neq -1, 5 \le x\}$

$C = \{ x | -3 < x \le 4 \text{ or } x \ge 5\}$

次に、$A \cap C$ を求めます。$A \cap C$ は $A$ と $C$ の共通部分です。

$A = \{x | -1 \le x < 5\}$

$C = \{x | -3 < x \le 4 \text{ or } x \ge 5\}$

$A \cap C = \{x | -1 \le x \le 4\}$

最後に、$A \cup C$ を求めます。$A \cup C$ は $A$ と $C$ の和集合です。

$A = \{x | -1 \le x < 5\}$

$C = \{x | -3 < x \le 4 \text{ or } x \ge 5\}$

$A \cup C = \{x | -3 < x \}$

3. 最終的な答え

$A \cap C = \{x | -1 \le x \le 4\}$

$A \cup C = \{x | x > -3\}$