以下の4つの広義積分を計算します。 (1) $\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2 - 4} dx$ (2) $\int_{1}^{3} \frac{1}{\sqrt{|x(x-2)|}} dx$ (3) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x(1+x^2)} dx$ (4) $\int_{-\infty}^{0} e^x \sin 2x dx$

1. 問題の内容

以下の4つの広義積分を計算します。

(1) $\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2 - 4} dx$

(2) $\int_{1}^{3} \frac{1}{\sqrt{|x(x-2)|}} dx$

(3) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x(1+x^2)} dx$

(4) $\int_{-\infty}^{0} e^x \sin 2x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2 - 4} dx$

被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{1}{x^2 - 4} = \frac{1}{(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}$

$1 = A(x+2) + B(x-2)$

$x = 2$のとき、$1 = 4A \implies A = \frac{1}{4}$

$x = -2$のとき、$1 = -4B \implies B = -\frac{1}{4}$

したがって、

$\frac{1}{x^2 - 4} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} \right)$

$\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2 - 4} dx = \frac{1}{4} \int_{2}^{3} \left( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} \right) dx$

$= \frac{1}{4} \left[ \ln |x-2| - \ln |x+2| \right]_{2}^{3} = \frac{1}{4} \left[ \ln \left| \frac{x-2}{x+2} \right| \right]_{2}^{3}$

$= \frac{1}{4} \left( \ln \frac{1}{5} - \lim_{x \to 2} \ln \frac{x-2}{x+2} \right)$

$= \frac{1}{4} \left( \ln \frac{1}{5} - \lim_{x \to 2} \ln |x-2| + \lim_{x \to 2} \ln |x+2| \right)$

$= \frac{1}{4} \left( \ln \frac{1}{5} - (-\infty) + \ln 4 \right) = -\infty$

この積分は広義積分なので、積分範囲を $\epsilon > 0$ を用いて書き換えて計算する必要があります。

$\int_{2+\epsilon}^{3} \frac{1}{x^2 - 4} dx = \frac{1}{4} \left[ \ln \left| \frac{x-2}{x+2} \right| \right]_{2+\epsilon}^{3}$

$= \frac{1}{4} \left( \ln \frac{1}{5} - \ln \frac{\epsilon}{4+\epsilon} \right) = \frac{1}{4} \ln \frac{4+\epsilon}{5\epsilon}$

$\lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{4} \ln \frac{4+\epsilon}{5\epsilon} = \infty$

したがって、広義積分は発散します。

(2) $\int_{1}^{3} \frac{1}{\sqrt{|x(x-2)|}} dx$

$x(x-2) = 0$となる$x$の値は、$x=0$と$x=2$です。積分区間$[1, 3]$において、$x=2$で被積分関数は定義されません。したがって、$x=2$で積分を分割します。

$\int_{1}^{3} \frac{1}{\sqrt{|x(x-2)|}} dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{|x(x-2)|}} dx + \int_{2}^{3} \frac{1}{\sqrt{|x(x-2)|}} dx$

積分区間$[1, 2]$において、$x(x-2) < 0$なので、$\sqrt{|x(x-2)|} = \sqrt{-x(x-2)} = \sqrt{-x^2 + 2x}$

積分区間$[2, 3]$において、$x(x-2) > 0$なので、$\sqrt{|x(x-2)|} = \sqrt{x(x-2)} = \sqrt{x^2 - 2x}$

$\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{-x^2 + 2x}} dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - (x-1)^2}} dx = \left[ \arcsin (x-1) \right]_{1}^{2} = \arcsin 1 - \arcsin 0 = \frac{\pi}{2}$

$\int_{2}^{3} \frac{1}{\sqrt{x^2 - 2x}} dx = \int_{2}^{3} \frac{1}{\sqrt{(x-1)^2 - 1}} dx = \left[ \cosh^{-1} (x-1) \right]_{2}^{3} = \cosh^{-1} 2 - \cosh^{-1} 1 = \ln (2 + \sqrt{3}) - 0 = \ln (2 + \sqrt{3})$

したがって、

$\int_{1}^{3} \frac{1}{\sqrt{|x(x-2)|}} dx = \frac{\pi}{2} + \ln (2 + \sqrt{3})$

(3) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x(1+x^2)} dx$

被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{1}{x(1+x^2)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{1+x^2}$

$1 = A(1+x^2) + (Bx+C)x = A + Ax^2 + Bx^2 + Cx$

$x^2$の係数について、$0 = A + B \implies B = -A$

$x$の係数について、$0 = C$

定数項について、$1 = A$

したがって、$A = 1, B = -1, C = 0$

$\frac{1}{x(1+x^2)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^2}$

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x(1+x^2)} dx = \int_{1}^{\infty} \left( \frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^2} \right) dx$

$= \left[ \ln x - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) \right]_{1}^{\infty} = \left[ \ln \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right]_{1}^{\infty}$

$= \lim_{x \to \infty} \ln \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} - \ln \frac{1}{\sqrt{2}} = \ln 1 - \ln \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 - (-\frac{1}{2} \ln 2) = \frac{1}{2} \ln 2$

(4) $\int_{-\infty}^{0} e^x \sin 2x dx$

部分積分を2回行います。

$I = \int_{-\infty}^{0} e^x \sin 2x dx$

$I = [e^x \sin 2x]_{-\infty}^{0} - \int_{-\infty}^{0} e^x (2 \cos 2x) dx$

$= 0 - 2 \int_{-\infty}^{0} e^x \cos 2x dx = -2 \left( [e^x \cos 2x]_{-\infty}^{0} - \int_{-\infty}^{0} e^x (-2 \sin 2x) dx \right)$

$= -2 \left( 1 - (-2) \int_{-\infty}^{0} e^x \sin 2x dx \right) = -2 + 4 \int_{-\infty}^{0} e^x \sin 2x dx = -2 + 4I$

$I = -2 + 4I \implies -3I = -2 \implies I = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 発散

(2) $\frac{\pi}{2} + \ln(2 + \sqrt{3})$

(3) $\frac{1}{2} \ln 2$

(4) $\frac{2}{3}$