$x + 2y - z = 0$ と $3x - y + z = 1$ を満たすすべての $x, y, z$ に対して、$ax^2 + by^2 + cz^2 = 1$ が成り立つような定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。選択肢の中から正しい組み合わせを選びます。

1. 問題の内容

$x + 2y - z = 0$ と $3x - y + z = 1$ を満たすすべての $x, y, z$ に対して、$ax^2 + by^2 + cz^2 = 1$ が成り立つような定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。選択肢の中から正しい組み合わせを選びます。

2. 解き方の手順

まず、$z$ を $x$ と $y$ で表します。

$x + 2y - z = 0$ より、

$z = x + 2y$

これを $3x - y + z = 1$ に代入すると、

$3x - y + (x + 2y) = 1$

$4x + y = 1$

$y = 1 - 4x$

$z = x + 2y$ に $y = 1 - 4x$ を代入すると、

$z = x + 2(1 - 4x) = x + 2 - 8x = 2 - 7x$

したがって、$x, y, z$ は以下のように表されます。

$x = x$

$y = 1 - 4x$

$z = 2 - 7x$

これを $ax^2 + by^2 + cz^2 = 1$ に代入すると、

$ax^2 + b(1 - 4x)^2 + c(2 - 7x)^2 = 1$

$ax^2 + b(1 - 8x + 16x^2) + c(4 - 28x + 49x^2) = 1$

$ax^2 + b - 8bx + 16bx^2 + 4c - 28cx + 49cx^2 = 1$

$(a + 16b + 49c)x^2 + (-8b - 28c)x + (b + 4c) = 1$

この等式がすべての $x$ について成り立つためには、次の係数がすべて等しくなければなりません。

$a + 16b + 49c = 0$

$-8b - 28c = 0$

$b + 4c = 1$

$-8b - 28c = 0$ より、

$2b + 7c = 0$

$b = -\frac{7}{2}c$

$b + 4c = 1$ に代入すると、

$-\frac{7}{2}c + 4c = 1$

$-\frac{7}{2}c + \frac{8}{2}c = 1$

$\frac{1}{2}c = 1$

$c = 2$

$b = -\frac{7}{2}c = -\frac{7}{2}(2) = -7$

$a + 16b + 49c = 0$ に代入すると、

$a + 16(-7) + 49(2) = 0$

$a - 112 + 98 = 0$

$a - 14 = 0$

$a = 14$

したがって、$a = 14, b = -7, c = 2$

3. 最終的な答え

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