関数 $f(x) = x\sqrt{2x-x^2}$ の極値、凹凸、漸近線を求め、グラフの概形を描く。

## (1) $f(x) = x\sqrt{2x-x^2}$

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x\sqrt{2x-x^2}$ の極値、凹凸、漸近線を求め、グラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

まず、定義域を求める。根号の中身が0以上である必要があるので、$2x-x^2 \ge 0$ を解くと、$x(2-x) \ge 0$ となり、$0 \le x \le 2$ となる。

次に、$f(x)$ の導関数を求める。

$f'(x) = \sqrt{2x-x^2} + x \cdot \frac{2-2x}{2\sqrt{2x-x^2}} = \sqrt{2x-x^2} + \frac{x(1-x)}{\sqrt{2x-x^2}} = \frac{2x-x^2 + x - x^2}{\sqrt{2x-x^2}} = \frac{3x-2x^2}{\sqrt{2x-x^2}} = \frac{x(3-2x)}{\sqrt{2x-x^2}}$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 0$ または $x = \frac{3}{2}$ のときである。

$f'(x)$ の符号を調べると、

- $0 < x < \frac{3}{2}$ で $f'(x) > 0$

- $\frac{3}{2} < x < 2$ で $f'(x) < 0$

したがって、$x = \frac{3}{2}$ で極大値をとり、その値は $f(\frac{3}{2}) = \frac{3}{2}\sqrt{2\cdot\frac{3}{2} - (\frac{3}{2})^2} = \frac{3}{2}\sqrt{3-\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$ である。

$x = 0$ で極小値 $f(0) = 0$ をとる。

$x=2$ で$f(2)=0$。

次に、2階導関数を求める。

$f''(x) = \frac{(3-4x)\sqrt{2x-x^2} - x(3-2x)\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}}{2x-x^2} = \frac{(3-4x)(2x-x^2) - x(3-2x)(1-x)}{(2x-x^2)^{3/2}} = \frac{6x-3x^2-8x^2+4x^3 - (3x-3x^2-2x^2+2x^3)}{(2x-x^2)^{3/2}} = \frac{2x^3 - 8x^2+3x}{(2x-x^2)^{3/2}} = \frac{x(2x^2-8x+3)}{(2x-x^2)^{3/2}}$

$f''(x) = 0$ となるのは、$2x^2-8x+3 = 0$ のとき。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64-24}}{4} = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$

$2 - \frac{\sqrt{10}}{2} \approx 2 - \frac{3.16}{2} \approx 0.42$ であり、$2 + \frac{\sqrt{10}}{2} > 2$ なので、定義域外。

したがって、変曲点は $x = 2 - \frac{\sqrt{10}}{2}$ である。

$f''(x)$ の符号を調べると、

- $0 < x < 2 - \frac{\sqrt{10}}{2}$ で $f''(x) > 0$ （下に凸）

- $2 - \frac{\sqrt{10}}{2} < x < 2$ で $f''(x) < 0$ （上に凸）

漸近線は存在しない（定義域が有限であるため）。

3. 最終的な答え

- 極小値: $f(0) = 0$

- 極大値: $f(\frac{3}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

- 変曲点: $x = 2 - \frac{\sqrt{10}}{2}$

## (2) $f(x) = x^2e^{-x}$

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2e^{-x}$ の極値、凹凸、漸近線を求め、グラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

定義域は全ての実数。

$f'(x) = 2xe^{-x} - x^2e^{-x} = e^{-x}(2x-x^2) = xe^{-x}(2-x)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 0$ または $x = 2$ のときである。

$f'(x)$ の符号を調べると、

- $x < 0$ で $f'(x) < 0$

- $0 < x < 2$ で $f'(x) > 0$

- $x > 2$ で $f'(x) < 0$

したがって、$x = 0$ で極小値 $f(0) = 0$ をとり、$x = 2$ で極大値 $f(2) = 4e^{-2}$ をとる。

$f''(x) = e^{-x}(2-2x) - e^{-x}(2x-x^2) = e^{-x}(2-4x+x^2) = e^{-x}(x^2-4x+2)$

$f''(x) = 0$ となるのは、$x^2-4x+2 = 0$ のとき。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16-8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$

したがって、変曲点は $x = 2 \pm \sqrt{2}$ である。

$f''(x)$ の符号を調べると、

- $x < 2 - \sqrt{2}$ で $f''(x) > 0$ （下に凸）

- $2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ で $f''(x) < 0$ （上に凸）

- $x > 2 + \sqrt{2}$ で $f''(x) > 0$ （下に凸）

$x \to \infty$ で、$f(x) \to 0$ となるので、$y = 0$ は漸近線である。

$x \to -\infty$ で、$f(x) \to \infty$。

3. 最終的な答え

- 極小値: $f(0) = 0$

- 極大値: $f(2) = 4e^{-2}$

- 変曲点: $x = 2 \pm \sqrt{2}$

- 漸近線: $y = 0$

## (3) $f(x) = x + \frac{1}{x}$

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x + \frac{1}{x}$ の極値、凹凸、漸近線を求め、グラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

定義域は $x \ne 0$ である全ての実数。

$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2-1}{x^2}$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = \pm 1$ のときである。

$f'(x)$ の符号を調べると、

- $x < -1$ で $f'(x) > 0$

- $-1 < x < 0$ で $f'(x) < 0$

- $0 < x < 1$ で $f'(x) < 0$

- $x > 1$ で $f'(x) > 0$

したがって、$x = -1$ で極大値 $f(-1) = -2$ をとり、$x = 1$ で極小値 $f(1) = 2$ をとる。

$f''(x) = \frac{2}{x^3}$

$f''(x) = 0$ となる $x$ は存在しない。

$f''(x)$ の符号を調べると、

- $x < 0$ で $f''(x) < 0$ （上に凸）

- $x > 0$ で $f''(x) > 0$ （下に凸）

$x = 0$ は定義域外なので、変曲点は存在しない。

$x \to 0$ で、$f(x) \to \pm \infty$ となるので、$x = 0$ は漸近線である。

$x \to \pm \infty$ で、$f(x) \approx x$ となるので、$y = x$ は漸近線である。

3. 最終的な答え

- 極大値: $f(-1) = -2$

- 極小値: $f(1) = 2$

- 変曲点: なし

- 漸近線: $x = 0$, $y = x$

## (4) $f(x) = x \log x$

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x \log x$ の極値、凹凸、漸近線を求め、グラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

定義域は $x > 0$ である。

$f'(x) = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

$f'(x) = 0$ となるのは、$\log x = -1$、つまり、$x = e^{-1} = \frac{1}{e}$ のときである。

$f'(x)$ の符号を調べると、

- $0 < x < \frac{1}{e}$ で $f'(x) < 0$

- $x > \frac{1}{e}$ で $f'(x) > 0$

したがって、$x = \frac{1}{e}$ で極小値 $f(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \log \frac{1}{e} = -\frac{1}{e}$ をとる。

$f''(x) = \frac{1}{x}$

$f''(x) = 0$ となる $x$ は存在しない。

$f''(x)$ の符号を調べると、$x > 0$ で常に $f''(x) > 0$ （下に凸）

したがって、変曲点は存在しない。

$x \to 0^+$ で、$x \log x \to 0$ となる。

$x \to \infty$ で、$f(x) \to \infty$。

漸近線はない。

3. 最終的な答え

- 極小値: $f(\frac{1}{e}) = -\frac{1}{e}$

- 変曲点: なし

- 漸近線: なし