2重積分 $\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{a \cos \phi} \rho \sin \phi \, d\rho \, d\phi$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2重積分 $\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{a \cos \phi} \rho \sin \phi \, d\rho \, d\phi$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\rho$ について積分します。

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\int_{0}^{a \cos \phi} \rho \sin \phi \, d\rho = \sin \phi \int_{0}^{a \cos \phi} \rho \, d\rho = \sin \phi \left[ \frac{\rho^2}{2} \right]_{0}^{a \cos \phi} = \sin \phi \frac{(a \cos \phi)^2}{2} = \frac{a^2}{2} \sin \phi \cos^2 \phi

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次に、$\phi$ について積分します。

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\int_{0}^{\pi} \frac{a^2}{2} \sin \phi \cos^2 \phi \, d\phi = \frac{a^2}{2} \int_{0}^{\pi} \sin \phi \cos^2 \phi \, d\phi

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ここで、$u = \cos \phi$ と置換すると、$du = -\sin \phi \, d\phi$ となります。$\phi$ が $0$ から $\pi$ に変化するとき、$u$ は $1$ から $-1$ に変化します。したがって、

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\frac{a^2}{2} \int_{0}^{\pi} \sin \phi \cos^2 \phi \, d\phi = \frac{a^2}{2} \int_{1}^{-1} u^2 (-du) = \frac{a^2}{2} \int_{-1}^{1} u^2 \, du = \frac{a^2}{2} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{a^2}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{-1}{3} \right) = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{a^2}{3}

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3. 最終的な答え

$\frac{a^2}{3}$