問題は2つあります。 (1) 縦 $5$cm、横 $2x$cm の長方形の紙が8枚あります。図のように並べたとき、⑦と①で色のついた部分の面積のどちらが大きいか、また、どれだけ大きいかを答えます。 (2) 正方形と半円を組み合わせた図で、色のついた部分の面積を $a$ を使った式で表します。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 縦 $5$cm、横 $2x$cm の長方形の紙が8枚あります。図のように並べたとき、⑦と①で色のついた部分の面積のどちらが大きいか、また、どれだけ大きいかを答えます。

(2) 正方形と半円を組み合わせた図で、色のついた部分の面積を $a$ を使った式で表します。

2. 解き方の手順

(1)

まず、⑦の図の色のついた部分の面積を計算します。

縦 $5$cm、横 $2x$cm の長方形が8枚あるので、全体の長方形の縦の長さは $5$cm、横の長さは $2x \times 8 = 16x$cmです。

色のついた部分は、縦 $5$cm、横 $2x \times 6 = 12x$cm の長方形なので、面積は $5 \times 12x = 60x$cm$^2$ です。

次に、①の図の色のついた部分の面積を計算します。

縦 $5$cm、横 $2x$cm の長方形が8枚あるので、全体の長方形の縦の長さは $5$cm、横の長さは $2x \times 8 = 16x$cmです。

色のついた部分は、縦 $5+2 = 7$cm、横 $2x \times 4 = 8x$cm の長方形から、縦 $2$cm、横 $2x$cmの長方形2つを取り除いたものなので、

面積は $7 \times 8x - 2 \times 2x \times 2 = 56x - 8x = 48x$cm$^2$ ではありません。正方形の縦 $5$cm、横 $2x$cm の長方形が4つありますので、面積は $5 \times 2x \times 4 = 40x$cm$^2$ です。

色のついた部分は、縦 $5$cm、横 $2x \times 4 + 2x \times 2 = 12x$cm の長方形なので、面積は $5 \times 12x = 60x$cm$^2$ です。

色のついた部分の面積の差を計算します。

$60x - 40x = 20x$cm$^2$。

(2)

色のついた部分の面積は、正方形の面積と半円の面積を足したものです。

正方形の一辺の長さは $a$ なので、正方形の面積は $a^2$ です。

半円の半径は $a$ なので、半円の面積は $\frac{1}{2} \pi a^2$ です。

色のついた部分の面積は $a^2 + \frac{1}{2} \pi a^2 = a^2 (1+\frac{\pi}{2})$ です。

3. 最終的な答え

(1) ⑦の図の色がついた部分の面積が $20x$cm$^2$ 大きい。

(2) $a^2 + \frac{1}{2}\pi a^2$ m$^2$