次の不定積分を求めます。 (1) $\int (x+4)^3 dx$ (2) $\int (2x-5)^4 dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

(1) $\int (x+4)^3 dx$

(2) $\int (2x-5)^4 dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (x+4)^3 dx$

$u = x+4$ と置換すると、$du = dx$ となります。したがって、

$\int (x+4)^3 dx = \int u^3 du = \frac{1}{4} u^4 + C = \frac{1}{4} (x+4)^4 + C$

(2) $\int (2x-5)^4 dx$

$u = 2x-5$ と置換すると、$du = 2 dx$ より、$dx = \frac{1}{2} du$ となります。したがって、

$\int (2x-5)^4 dx = \int u^4 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^4 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^5 + C = \frac{1}{10} (2x-5)^5 + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int (x+4)^3 dx = \frac{1}{4} (x+4)^4 + C$

(2) $\int (2x-5)^4 dx = \frac{1}{10} (2x-5)^5 + C$