次の定積分を求めます。 (1) $\int_{-1}^{0} (x+3)^4 dx$ (2) $\int_{-1}^{1} (2x-1)^3 dx$

1. 問題の内容

次の定積分を求めます。

(1) $\int_{-1}^{0} (x+3)^4 dx$

(2) $\int_{-1}^{1} (2x-1)^3 dx$

2. 解き方の手順

(1)

まず、不定積分を計算します。$u = x+3$ と置換すると、$du = dx$ となります。

$\int (x+3)^4 dx = \int u^4 du = \frac{1}{5} u^5 + C = \frac{1}{5}(x+3)^5 + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{-1}^{0} (x+3)^4 dx = \left[ \frac{1}{5}(x+3)^5 \right]_{-1}^{0} = \frac{1}{5}(0+3)^5 - \frac{1}{5}(-1+3)^5 = \frac{1}{5}(3^5 - 2^5) = \frac{1}{5}(243 - 32) = \frac{211}{5}$

(2)

まず、不定積分を計算します。$u = 2x-1$ と置換すると、$du = 2dx$ となり、$dx = \frac{1}{2} du$ となります。

$\int (2x-1)^3 dx = \int u^3 \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^3 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} u^4 + C = \frac{1}{8}(2x-1)^4 + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{-1}^{1} (2x-1)^3 dx = \left[ \frac{1}{8}(2x-1)^4 \right]_{-1}^{1} = \frac{1}{8}(2(1)-1)^4 - \frac{1}{8}(2(-1)-1)^4 = \frac{1}{8}(1^4 - (-3)^4) = \frac{1}{8}(1 - 81) = \frac{-80}{8} = -10$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{211}{5}$

(2) $-10$