与えられた広義積分を計算する。 (5) $\int_{-\infty}^{+\infty} x \, dx$ (6) $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(x^2+1)^2} \, dx$ (問題2) 次の広義積分の収束・発散を調べる。 (1) $\int_0^1 \frac{\sin x}{\sqrt{1-x}} \, dx$ (2) $\int_1^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{2x^2-1}} \, dx$

1. 問題の内容

与えられた広義積分を計算する。

(5) $\int_{-\infty}^{+\infty} x \, dx$

(6) $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(x^2+1)^2} \, dx$

(問題2) 次の広義積分の収束・発散を調べる。

(1) $\int_0^1 \frac{\sin x}{\sqrt{1-x}} \, dx$

(2) $\int_1^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{2x^2-1}} \, dx$

2. 解き方の手順

(5)

$f(x) = x$ は奇関数なので、$\int_{-a}^{a} x \, dx = 0$ である。しかし、これは広義積分なので、

$\int_{-\infty}^{+\infty} x \, dx = \lim_{a \to \infty} \int_{-a}^{a} x \, dx = \lim_{a \to \infty} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-a}^{a} = \lim_{a \to \infty} \left( \frac{a^2}{2} - \frac{(-a)^2}{2} \right) = \lim_{a \to \infty} 0 = 0$.

しかし、$\lim_{a \to \infty} \int_{0}^{a} x \, dx = \lim_{a \to \infty} \frac{a^2}{2} = \infty$ であり、$\lim_{a \to \infty} \int_{-a}^{0} x \, dx = \lim_{a \to \infty} -\frac{a^2}{2} = -\infty$ なので、この広義積分は発散する。

(6)

$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(x^2+1)^2} \, dx$ を計算する。

これは偶関数なので、

$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(x^2+1)^2} \, dx = 2 \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(x^2+1)^2} \, dx$

$x = \tan \theta$ と置換すると、$dx = \sec^2 \theta \, d\theta$

$x=0$ のとき $\theta = 0$, $x \to \infty$ のとき $\theta \to \frac{\pi}{2}$

$\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(x^2+1)^2} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{(\tan^2 \theta + 1)^2} \sec^2 \theta \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{(\sec^2 \theta)^2} \sec^2 \theta \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sec^2 \theta} \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d\theta$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos(2\theta)}{2} \, d\theta = \left[ \frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4}$

したがって、$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(x^2+1)^2} \, dx = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

(問題2)

(1)

$\int_0^1 \frac{\sin x}{\sqrt{1-x}} \, dx$

$1-x = t$ と置くと、$x = 1-t$, $dx = -dt$.

$x=0$ のとき $t=1$, $x=1$ のとき $t=0$.

$\int_0^1 \frac{\sin x}{\sqrt{1-x}} \, dx = \int_1^0 \frac{\sin(1-t)}{\sqrt{t}} (-dt) = \int_0^1 \frac{\sin(1-t)}{\sqrt{t}} \, dt = \int_0^1 \frac{\sin(1-x)}{\sqrt{x}} \, dx$

$0 \le x \le 1$ で $\sin(1-x) \le 1$ なので、$\frac{\sin(1-x)}{\sqrt{x}} \le \frac{1}{\sqrt{x}}$. $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = [2\sqrt{x}]_0^1 = 2 < \infty$. よって、収束する。

(2)

$\int_1^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{2x^2-1}} \, dx$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{\sqrt[3]{2x^2-1}} \sim \frac{1}{\sqrt[3]{2x^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}x^{2/3}}$.

$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^{2/3}} \, dx = \lim_{a \to \infty} [3x^{1/3}]_1^a = \lim_{a \to \infty} (3\sqrt[3]{a}-3) = \infty$. よって、発散する。

3. 最終的な答え

(5) 発散

(6) $\frac{\pi}{2}$

(問題2)(1) 収束

(問題2)(2) 発散