濃度5%の食塩水$x$gに100gの水を加えると濃度が4%以下になり、さらに100gの水を加えると濃度が3%以上になる。このとき、$x$の取りうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

濃度5%の食塩水$x$gに100gの水を加えると濃度が4%以下になり、さらに100gの水を加えると濃度が3%以上になる。このとき、$x$の取りうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、食塩水$x$gに含まれる食塩の量は$0.05x$gである。

100gの水を加えた後の食塩水の濃度は $\frac{0.05x}{x+100}$ である。これが4%以下であるから、

$$\frac{0.05x}{x+100} \le 0.04$$

さらに100gの水を加えた後の食塩水の濃度は $\frac{0.05x}{x+200}$ である。これが3%以上であるから、

$$\frac{0.05x}{x+200} \ge 0.03$$

これらの不等式を解く。

まず、$\frac{0.05x}{x+100} \le 0.04$ を解く。$x+100>0$なので、$x+100$を両辺にかけて、

$$0.05x \le 0.04(x+100)$$

$$0.05x \le 0.04x + 4$$

$$0.01x \le 4$$

$$x \le 400$$

次に、$\frac{0.05x}{x+200} \ge 0.03$ を解く。$x+200>0$なので、$x+200$を両辺にかけて、

$$0.05x \ge 0.03(x+200)$$

$$0.05x \ge 0.03x + 6$$

$$0.02x \ge 6$$

$$x \ge 300$$

よって、$300 \le x \le 400$

3. 最終的な答え

$300 \le x \le 400$