関数 $f(x) = \ln(\ln(2x^2+1))$ の $x=-1$ における微分係数 $f'(-1)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \ln(\ln(2x^2+1))$ の $x=-1$ における微分係数 $f'(-1)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を微分する。合成関数の微分を用いる。

$f'(x) = \frac{1}{\ln(2x^2+1)} \cdot \frac{1}{2x^2+1} \cdot 4x = \frac{4x}{(2x^2+1)\ln(2x^2+1)}$

次に、$f'(-1)$ を計算する。

$f'(-1) = \frac{4(-1)}{(2(-1)^2+1)\ln(2(-1)^2+1)} = \frac{-4}{(2(1)+1)\ln(2(1)+1)} = \frac{-4}{(2+1)\ln(2+1)} = \frac{-4}{3\ln(3)}$

3. 最終的な答え

$f'(-1) = -\frac{4}{3\ln(3)}$