与えられた5つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $y = \cos^{-1} x$ (2) $y = \tan^{-1} x$ (3) $y = \sin^{-1} (1 - x^2)$ (4) $y = \cos^{-1} (\sin x)$ (5) $y = \frac{1}{ab} \tan^{-1} \left(\frac{b}{a} \tan x\right)$ (ただし、$ab \neq 0$)

1. 問題の内容

与えられた5つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $y = \cos^{-1} x$

(2) $y = \tan^{-1} x$

(3) $y = \sin^{-1} (1 - x^2)$

(4) $y = \cos^{-1} (\sin x)$

(5) $y = \frac{1}{ab} \tan^{-1} \left(\frac{b}{a} \tan x\right)$ (ただし、$ab \neq 0$)

2. 解き方の手順

(1) $y = \cos^{-1} x$ の微分

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

(2) $y = \tan^{-1} x$ の微分

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$

(3) $y = \sin^{-1} (1 - x^2)$ の微分

合成関数の微分を用いる。$u = 1 - x^2$とすると、$y = \sin^{-1} u$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$

$\frac{du}{dx} = -2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^2)^2}} \cdot (-2x) = \frac{-2x}{\sqrt{1 - (1 - 2x^2 + x^4)}} = \frac{-2x}{\sqrt{2x^2 - x^4}} = \frac{-2x}{\sqrt{x^2(2 - x^2)}} = \frac{-2x}{|x| \sqrt{2 - x^2}}$

$x>0$のとき

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2}{\sqrt{2 - x^2}}$

$x<0$のとき

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{2 - x^2}}$

(4) $y = \cos^{-1} (\sin x)$ の微分

$\cos^{-1}(\sin x) = \frac{\pi}{2} - x$

$\frac{dy}{dx} = -1$

(5) $y = \frac{1}{ab} \tan^{-1} \left(\frac{b}{a} \tan x\right)$ の微分

$u = \frac{b}{a} \tan x$とおくと、$\frac{du}{dx} = \frac{b}{a} \sec^2 x = \frac{b}{a} (1 + \tan^2 x)$

$y = \frac{1}{ab} \tan^{-1} u$より、$\frac{dy}{du} = \frac{1}{ab} \frac{1}{1 + u^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{ab} \frac{1}{1 + (\frac{b}{a} \tan x)^2} \cdot \frac{b}{a} (1 + \tan^2 x) = \frac{1}{a^2b} \frac{1 + \tan^2 x}{1 + \frac{b^2}{a^2} \tan^2 x} = \frac{1}{a^2b} \frac{a^2 (1 + \tan^2 x)}{a^2 + b^2 \tan^2 x} = \frac{1}{b} \frac{1 + \tan^2 x}{a^2 + b^2 \tan^2 x} = \frac{\sec^2 x}{a^2 + b^2 \tan^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} \frac{1}{a^2 + b^2 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} = \frac{1}{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{|x|\sqrt{2-x^2}}$

(4) $\frac{dy}{dx} = -1$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x}$